ریاضی کنکوری
صفحه اصلی
فرمول‌های مثلثات کنکور؛ چه چیزهایی را واقعاً باید بلد باشیم؟
فرمول‌های اصلی را از چند رابطه پایه بساز، علامت‌ها را با ربع زاویه کنترل کن و با تمرین‌های پاسخ‌دار مطمئن شو فقط حفظ نکرده‌ای.
پاسخ کوتاه
برای بیشتر تست‌های مثلثات کنکور، چهار ابزار کافی است: مقادیر زاویه‌های معروف، اتحاد sin²x+cos²x=1، روابط جمع و تفاضل و تشخیص علامت نسبت‌ها در چهار ربع. فرمول دوبرابر و نیم‌زاویه را می‌توان از همین روابط بازسازی کرد؛ بنابراین حفظ‌کردن بدون فهم، هم پرحجم است و هم در جلسه آزمون آسیب‌پذیر.
سه پایه اصلی
روی دایره واحد، مختصات نقطه متناظر با زاویه x برابر (cos x,sin x) است. از معادله دایره، یعنی x²+y²=1، اتحاد sin²x+cos²x=1 به دست می‌آید. همچنین tan x=sin x/cos x است و هرجا cos x=0 باشد تانژانت تعریف نمی‌شود. علامت‌ها را حفظ نکن: راست یا چپ‌بودن نقطه علامت کسینوس و بالا یا پایین‌بودن آن علامت سینوس را تعیین می‌کند.
جدول زاویه‌های معروف مثلثات
| زاویه | ۰° | ۳۰° | ۴۵° | ۶۰° | ۹۰° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | ۰ | ۱/۲ | √۲/۲ | √۳/۲ | ۱ |
| cos | ۱ | √۳/۲ | √۲/۲ | ۱/۲ | ۰ |
| tan | ۰ | √۳/۳ | ۱ | √۳ | تعریف‌نشده |
برای بازسازی جدول سینوس، مقادیر √۰/۲، √۱/۲، √۲/۲، √۳/۲ و √۴/۲ را به‌ترتیب بنویس؛ جدول کسینوس همان ترتیب معکوس است. سپس تانژانت را از تقسیم سینوس بر کسینوس بساز.
روابط جمع و دوبرابر
دو رابطه کلیدی عبارت‌اند از sin(a+b)=sin a cos b+cos a sin b و cos(a+b)=cos a cos b−sin a sin b. برای تفاضل زاویه فقط علامت میان دو جمله تغییر می‌کند. اگر b=a بگذاری، sin2a=2sin a cos a و cos2a=cos²a−sin²a به دست می‌آید. با جایگزینی اتحاد اصلی می‌توان کسینوس دوبرابر را به دو شکل 1−2sin²a و 2cos²a−1 نیز نوشت.
مثال حل‌شده با فرمول جمع زاویه‌ها
برای محاسبه cos75° می‌نویسیم 75°=45°+30°. پس cos75°=cos45°cos30°−sin45°sin30°. با جایگذاری مقادیر معروف داریم (√2/2)(√3/2)−(√2/2)(1/2)=(√6−√2)/4. علامت مثبت جواب نیز منطقی است، چون ۷۵ درجه در ربع اول قرار دارد.
حل معادله مثلثاتی
ابتدا معادله را به یک نسبت مثلثاتی تبدیل کن، جواب‌های پایه را روی دایره پیدا کن و سپس دوره تناوب را اضافه کن. در سؤال‌های بازه‌دار، فقط جواب‌های داخل بازه را نگه دار.
سه خطای رایج در استفاده از فرمول‌ها
خطای اول، حذف علامت ربع پس از محاسبه قدرمطلق نسبت است. خطای دوم، اشتباه‌گرفتن cos(a+b) با cos a+cos b است؛ چنین توزیعی وجود ندارد. خطای سوم، استفاده از تانژانت بدون کنترل صفرنبودن کسینوس است. پیش از ساده‌سازی، دامنه عبارت اولیه را یادداشت کن تا جواب یا زاویه ممنوع وارد پاسخ نشود.
چک‌لیست حل تست
- علامت‌ها را از ربع زاویه تعیین کن.
- مقادیر معروف را از الگوی رادیکال‌ها بازسازی کن.
- فرمول دوبرابر را از جمع دو زاویه بساز.
- قبل از تقسیم بر سینوس یا کسینوس، صفرنبودن آن را بررسی کن.
- بازه سؤال را در آخر دوباره کنترل کن.
تمرین خودسنجی فرمول‌های مثلثات کنکور
تمرین ۱: اگر sin x=3/5 و x در ربع دوم باشد، cos x و tan x را پیدا کنید.
از اتحاد اصلی، cos²x=1−9/25=16/25؛ پس قدرمطلق کسینوس 4/5 است. در ربع دوم کسینوس منفی است، بنابراین cos x=−4/5 و tan x=(3/5)/(−4/5)=−3/4.
تمرین ۲: اگر cos2x=1/2 باشد، مقدار sin²x را بیابید.
از رابطه cos2x=1−2sin²x استفاده می‌کنیم: 1/2=1−2sin²x؛ در نتیجه 2sin²x=1/2 و sin²x=1/4.
تمرین ۳: مقدار sin15° را با فرمول تفاضل زاویه‌ها محاسبه کنید.
می‌نویسیم 15°=45°−30°. پس sin15°=sin45°cos30°−cos45°sin30°=(√6−√2)/4.