معادلات مثلثاتی کنکور؛ جواب عمومی و پاسخ در بازه
آموزش حل معادلات سینوس، کسینوس و تانژانت، جوابهای عمومی و انتخاب پاسخهای یک بازه.
پاسخ کوتاه
حل معادله مثلثاتی دو مرحله دارد: ابتدا زاویههای پایه را پیدا میکنیم و سپس تناوب تابع را به جواب اضافه میکنیم. در سؤال بازهدار، جواب عمومی فقط میانه راه است و باید اعضای مجاز بازه استخراج شوند.
معادله سینوس
اگر sin x=sin α، جوابها x=α+2kπ یا x=π-α+2kπ هستند. روی دایره مثلثاتی، سینوس مختصه عمودی است و دو نقطه متقارن نسبت به محور y مقدار برابر دارند.
معادله کسینوس و تانژانت
برای cos x=cos α جواب x=2kπ±α است. تانژانت دوره π دارد و tan x=tan α به x=α+kπ میرسد. دورهها را با هم جابهجا نکن؛ این یکی از خطاهای پرتکرار است.
تبدیل معادله
اتحادها را برای تبدیل عبارت به یک نسبت مثلثاتی یا حاصلضرب به کار ببر. پس از فاکتورگیری، هر عامل را صفر قرار بده. اگر بر عبارتی شامل سینوس یا کسینوس تقسیم میکنی، حالت صفرشدن آن را جدا بررسی کن تا جواب از دست نرود.
مثال حلشده
در بازه 0≤x<2π، معادله sin x=1/2 دو جواب π/6 و 5π/6 دارد. زاویه مرجع π/6 است و سینوس در ربعهای اول و دوم مثبت است. کران 2π عضو بازه نیست.
تست کوتاه
معادله 2cos²x-1=0 به cos²x=1/2 میرسد؛ پس cos x=±√2/2. در بازه یک دور کامل چهار جواب π/4، 3π/4، 5π/4 و 7π/4 داریم.
چکلیست حل تست
- دوره سینوس و کسینوس 2π و دوره تانژانت π است.
- پس از تقسیم، حالت صفرشدن مقسومعلیه را از دست نده.
- کرانهای بازه را دقیق بررسی کن.