اتحادهای مثلثاتی کنکور؛ سادهسازی هدفمند و اثبات رابطه
روش استفاده از اتحاد اصلی، روابط دوبرابر و تبدیل نسبتها برای سادهسازی عبارتهای مثلثاتی کنکور.
پاسخ کوتاه
در سؤال اتحاد مثلثاتی، هدف معمولاً تبدیل همه عبارتها به سینوس و کسینوس یا ساختن یک الگوی شناختهشده است. شروع همزمان از دو طرف تساوی مسیر را مبهم میکند؛ از سمت پیچیدهتر حرکت کن و عبارت هدف را در ذهن نگه دار.
اتحاد اصلی
رابطه sin²x+cos²x=1 پایه بیشتر سادهسازیهاست. از آن میتوان 1-sin²x=cos²x و 1-cos²x=sin²x را ساخت. وقتی عبارت شامل یک و مربع نسبت مثلثاتی است، پیش از بسط به این الگو نگاه کن.
تبدیل تانژانت و کتانژانت
تانژانت برابر sinx/cosx و کتانژانت برابر cosx/sinx است. تبدیل به سینوس و کسینوس مخرج مشترک و استفاده از اتحاد اصلی را ممکن میکند، اما شرط صفرنبودن مخرجها باید حفظ شود.
روابط دوبرابر
sin2x=2sinx cosx و cos2x را میتوان به سه فرم cos²x-sin²x، 2cos²x-1 و 1-2sin²x نوشت. فرم مناسب را براساس اجزای موجود انتخاب کن تا جمله تازهای وارد عبارت نشود.
روش اثبات اتحاد
فقط یک طرف را انتخاب و با تبدیلهای معتبر به طرف دیگر برسان. تقسیم بر عبارتی که ممکن است صفر شود بدون ذکر شرط مجاز نیست. در تست چهارگزینهای، جایگذاری زاویه ساده میتواند گزینه غلط را حذف کند ولی جای اثبات عمومی را نمیگیرد.
مثال و تست کوتاه
عبارت (1-cos²x)/sinx در نقاطی که sinx≠0، با اتحاد اصلی به sin²x/sinx و سپس sinx تبدیل میشود. شرط دامنه مهم است؛ دو عبارت سادهشده ممکن است در نقاط حذفشده دامنه یکسان نداشته باشند.
چکلیست حل تست
- از سمت پیچیدهتر اتحاد شروع کن.
- فرم دوبرابر را متناسب با عبارت انتخاب کن.
- هنگام تقسیم، شرط ناصفربودن را نگه دار.