رابطه ریشه های معادله درجه دوم با ضرایب؛ حل تست بدون به‌دست‌آوردن ریشه‌ها

پاسخ کوتاه

رابطه ریشه های معادله درجه دوم با ضرایب به شما اجازه می‌دهد در بسیاری از تست‌ها بدون محاسبه خود ریشه‌ها، مجموع و حاصل‌ضرب آن‌ها را پیدا کنید. اگر معادله به صورت ax²+bx+c=0 و ریشه‌های آن α و β باشند، آنگاه α+β=−b/a و αβ=c/a است؛ بنابراین عبارت‌های مربوط به ریشه‌ها را مستقیماً از ضرایب می‌سازیم.

رابطه ریشه های معادله درجه دوم با ضرایب چیست؟

فرض کنید a≠0 و معادله ax²+bx+c=0 دو ریشه α و β داشته باشد. چون چندجمله‌ای را می‌توان به شکل a(x−α)(x−β) نوشت، با بسط آن داریم: ax²−a(α+β)x+aαβ. مقایسه ضرایب با ax²+bx+c نشان می‌دهد α+β=−b/a و αβ=c/a. این دو رابطه را رابطه‌های ویتا می‌نامند و برای ریشه‌های حقیقی یا مختلط، تا وقتی معادله درجه دوم باشد، برقرارند.

پیش از استفاده، معادله را استاندارد کنید

ضرایب باید مربوط به یک معادله برابر صفر باشند. مثلاً در 2x²−6x+4=0 داریم a=2، b=−6 و c=4؛ پس مجموع ریشه‌ها 3 و حاصل‌ضرب آن‌ها 2 است. اگر معادله به شکل 2x²−6x=−4 داده شده باشد، ابتدا 4 را به طرف چپ ببرید. همچنین اگر همه جمله‌ها ضریب مشترک داشته باشند، تقسیم‌کردن آن ضریب اشکالی ندارد، اما لازم نیست برای استفاده از رابطه‌ها حتماً ضریب x² را برابر یک کنید.

ساختن عبارت‌های ریشه‌ای بدون حل ریشه‌ها

با S=α+β و P=αβ می‌توان عبارت‌های مختلف را بازنویسی کرد. برای نمونه α²+β²=S²−2P و (α−β)²=S²−4P است. همچنین 1/α+1/β=(α+β)/(αβ)=S/P، به شرط P≠0. اگر عبارت شامل توان سوم باشد، α³+β³=S³−3PS به دست می‌آید. ابتدا عبارت را با S و P بنویسید، سپس مقدارهای به‌دست‌آمده از ضرایب را جایگذاری کنید.

مثال محاسباتی مرحله‌به‌مرحله

در معادله 3x²−12x+9=0، داریم S=−(−12)/3=4 و P=9/3=3. پس α²+β²=S²−2P=16−6=10. برای اختلاف ریشه‌ها نیز (α−β)²=S²−4P=16−12=4 است؛ بنابراین اگر فقط اندازه اختلاف خواسته شود، |α−β|=2. در این حل، نیازی به محاسبه ریشه‌های 1 و 3 نداشتیم و رابطه‌ها مستقیماً پاسخ را ساختند.

تعیین معادله از روی ریشه‌ها یا ویژگی آن‌ها

اگر مجموع ریشه‌ها S و حاصل‌ضربشان P باشد، یک معادله درجه دوم با این ریشه‌ها به صورت x²−Sx+P=0 ساخته می‌شود. برای مثال اگر مجموع دو ریشه 5 و حاصل‌ضربشان 6 باشد، معادله x²−5x+6=0 است. اگر ضریب پیشرو مشخص باشد، کل معادله را در همان ضریب ضرب کنید. توجه کنید که جابه‌جایی نام α و β هیچ اثری بر معادله ندارد.

کاربرد پارامتر و کنترل وجود ریشه‌ها

برای معادله x²−(m+2)x+2m=0، مجموع ریشه‌ها m+2 و حاصل‌ضرب آن‌ها 2m است. اگر بخواهیم هر دو ریشه مثبت باشند، فقط مثبت‌بودن مجموع و حاصل‌ضرب کافی نیست؛ باید حقیقی‌بودن ریشه‌ها را هم کنترل کنیم. دلتا برابر (m+2)²−8m=m²−4m+4=(m−2)² است که همیشه نامنفی است. سپس با توجه به شرط‌های لازم، بازه مناسب m را جداگانه بررسی می‌کنیم.

تمرین‌های خودسنجی با پاسخ کامل

تمرین ۱: اگر ریشه‌های معادله 2x²−8x+5=0 را α و β بنامیم، مقدار α²+β² را بیابید. پاسخ: S=α+β=−(−8)/2=4 و P=αβ=5/2 است. بنابراین α²+β²=S²−2P=16−5=11. تمرین ۲: معادله‌ای با ریشه‌های 3 و −2 و ضریب x² برابر 4 بنویسید. پاسخ: ابتدا معادله یکه با این ریشه‌ها را می‌سازیم: x²−(3−2)x+(3×−2)=x²−x−6=0. با ضرب در 4، معادله 4x²−4x−24=0 به دست می‌آید. هر مضرب ناصفر این معادله نیز همان ریشه‌ها را دارد.

جمع‌بندی؛ از ضرایب به رابطه‌های ریشه‌ها برسید

برای ax²+bx+c=0، مجموع ریشه‌ها −b/a و حاصل‌ضرب آن‌ها c/a است. با نام‌گذاری S و P، عبارت‌هایی مانند α²+β²، اختلاف ریشه‌ها و مجموع مکعب‌ها را به شکل ساده تبدیل کنید. اگر قرار است معادله‌ای بسازید، از x²−Sx+P=0 شروع کنید. در سؤال‌های پارامتری، علاوه بر رابطه‌های ریشه‌ها، حقیقی‌بودن ریشه‌ها و شرط‌های علامت را هم بررسی کنید؛ این کنترل نهایی از پذیرش جواب‌های اضافی جلوگیری می‌کند.

تمرین خودسنجی با پاسخ