حل مسئله کار و زمان با معادله؛ از متن سؤال تا پاسخ دقیق

پاسخ کوتاه

در حل مسئله کار و زمان با معادله، مهم‌ترین گام این است که «کار کامل» را برابر ۱ بگیریم و سهم انجام‌شده در هر واحد زمان را بنویسیم. اگر فردی کاری را در ۶ ساعت تمام کند، نرخ کار او در هر ساعت ۱/۶ است؛ بنابراین در t ساعت، مقدار کار انجام‌شده t/۶ خواهد بود. با همین مدل می‌توان مسئله‌های یک‌نفره، دو نفره و مسئله‌هایی را که یک نفر زودتر شروع می‌کند، منظم حل کرد.

ایده اصلی: نرخ انجام کار

ابتدا کل کار را ۱ واحد فرض کن. اگر شخصی کاری را در a ساعت انجام دهد، نرخ او ۱/a کار در ساعت است. برای مدت t ساعت، مقدار کار برابر t/a می‌شود. این تعریف باعث می‌شود زمان‌ها مستقیماً به کسرهای قابل جمع تبدیل شوند.

حل مسئله کار و زمان با معادله

برای ساختن معادله، نرخ هر فرد را جداگانه بنویس و سپس سهم‌های انجام‌شده را جمع کن. اگر دو نفر کاری را به‌ترتیب در ۶ و ۳ ساعت تمام کنند و با هم t ساعت کار کنند، معادله چنین است: t/۶ + t/۳ = ۱. با مخرج مشترک ۶ داریم t+2t=۶، پس ۳t=۶ و t=۲ ساعت. کنترل پاسخ ساده است: نفر اول در دو ساعت یک‌سوم کار و نفر دوم دو‌سوم کار را انجام می‌دهد؛ مجموع دقیقاً یک کار کامل است.

وقتی زمان شروع افراد یکسان نیست

اگر نفر اول چند ساعت تنها کار کند و سپس نفر دوم به او بپیوندد، مسئله را به دو مرحله تقسیم کن. مثلاً فردی کاری را در ۸ ساعت انجام می‌دهد و فرد دوم همان کار را در ۱۲ ساعت. نفر اول ابتدا ۲ ساعت تنها کار می‌کند؛ پس ۲/۸ یا ۱/۴ کار انجام شده است. سه‌چهارم باقی می‌ماند. نرخ کار مشترک برابر ۱/۸+۱/۱۲=۵/۲۴ است. زمان مرحله دوم از معادله (۵/۲۴)t=۳/۴ به دست می‌آید؛ بنابراین t=۱۸/۵ ساعت، یعنی ۳ ساعت و ۳۶ دقیقه.

تفاوت کار مشترک و کار متوالی

در کار مشترک، نرخ‌ها با هم جمع می‌شوند؛ اما در کار متوالی، هر مرحله بخشی از کل کار را تشکیل می‌دهد و باید سهم همان مرحله را جدا حساب کرد. اگر فردی نصف کار را انجام دهد و فرد دیگر نیمه باقی‌مانده را در ۴ ساعت تمام کند، نمی‌توان زمان‌ها را بدون دانستن سهم‌ها جمع یا میانگین گرفت. واحد مشترک همیشه «کسرِ کار کامل» است، نه صرفاً ساعت.

چک‌لیست جلوگیری از خطا

۱. کل کار را ۱ بگیر. ۲. زمان هر فرد را به نرخ تبدیل کن. ۳. برای کار هم‌زمان، نرخ‌ها را جمع کن. ۴. برای شروع متفاوت، کار انجام‌شده مرحله اول را از ۱ کم کن. ۵. در پایان، پاسخ را با جایگذاری در معادله بررسی کن. همچنین اگر دو نفر با هم کار می‌کنند، زمان مشترک باید از زمان هرکدام به‌تنهایی کمتر باشد؛ اگر چنین نشد، در تبدیل نرخ یا حل کسرها خطا رخ داده است.

تمرین‌های خودسنجی

تمرین ۱: کارگری کاری را در ۱۰ ساعت و کارگر دیگری همان کار را در ۱۵ ساعت انجام می‌دهد. اگر هر دو هم‌زمان شروع کنند، کار چند ساعت طول می‌کشد؟ پاسخ: نرخ مشترک ۱/۱۰+۱/۱۵=۱/۶ است؛ بنابراین زمان برابر ۶ ساعت است. تمرین ۲: لوله‌ای مخزن را در ۴ ساعت پر می‌کند و لوله‌ای دیگر در ۶ ساعت آن را پر می‌کند. اگر هر دو به‌مدت ۲ ساعت باز باشند، چه کسری از مخزن پر می‌شود؟ پاسخ: نرخ مشترک ۱/۴+۱/۶=۵/۱۲ است. در دو ساعت، مقدار پرشده ۲×۵/۱۲=۵/۶ مخزن است؛ پس ۱/۶ مخزن باقی می‌ماند.

جمع‌بندی: مدل‌سازی پیش از محاسبه

در این نوع سؤال‌ها، فرمول حفظی به‌تنهایی کافی نیست. باید برای هر شخص نرخ انجام کار را از معکوس زمان کامل‌کردن کار بسازی، سهم هر مرحله را مشخص کنی و مجموع سهم‌ها را برابر ۱ قرار دهی. کنترل نهایی با جایگذاری و مقایسه زمانی، پاسخ را قابل اعتماد می‌کند. اگر متن سؤال پیچیده بود، جدول سه‌ستونه «فرد، نرخ، مدت» بنویس؛ همین جدول معمولاً ساختار معادله را آشکار می‌کند.

تمرین خودسنجی با پاسخ