مسائل کار و زمان ریاضی؛ تبدیل متن سؤال به نرخ و معادله

پاسخ کوتاه

در مسائل کار و زمان ریاضی، مقدار کار را یک واحد کامل فرض می‌کنیم و به‌جای مقایسه مستقیم زمان‌ها، نرخ انجام کار هر فرد یا دستگاه را می‌سنجیم. با این نگاه، مسئله‌های همکاری، تأخیر، توقف و پر و خالی شدن مخزن به معادله‌هایی روشن تبدیل می‌شوند.

ایده اصلی: کار برابر نرخ ضربدر زمان است

اگر شخصی کاری را به‌تنهایی در زمان T انجام دهد، سهم او از کار در هر واحد زمان برابر ۱/T است. بنابراین اگر t واحد زمان کار کند، مقدار کار انجام‌شده او t/T خواهد بود. رابطه بنیادی چنین است: کار = نرخ × زمان. یک واحد کامل برای کل کار انتخاب کن تا محاسبات به کسرهای ساده تبدیل شوند.

مسائل کار مشترک ریاضی

اگر دو نفر کاری را به‌ترتیب در زمان‌های a و b انجام دهند، نرخ مشترک آن‌ها برابر ۱/a + ۱/b است. پس زمان لازم برای انجام کل کار از رابطه ۱/t = ۱/a + ۱/b به دست می‌آید و در نتیجه t = ab/(a+b). برای سه عامل نیز نرخ‌ها با هم جمع می‌شوند. این فرمول فقط زمانی معتبر است که همه عوامل هم‌زمان و بدون توقف کار کنند.

ساخت جدول برای زمان‌های متفاوت

در مسئله‌هایی که افراد مدت‌های متفاوتی کار می‌کنند، جدولی با سه ستونِ عامل، نرخ و زمان بساز. سهم هر عامل برابر حاصل‌ضرب نرخ او در زمان فعالیتش است. اگر بخشی از کار باقی بماند، مجموع سهم‌ها باید برابر ۱ شود. این روش از اشتباه رایجِ جمع کردن زمان‌ها جلوگیری می‌کند؛ زمان‌ها جمع نمی‌شوند، بلکه نرخ‌های انجام کار جمع می‌شوند.

کارهای مخالف و مسئله‌های مخزن

در مخزن، لوله ورودی نرخ مثبت و لوله خروجی نرخ منفی دارد. اگر یک لوله مخزن را در a ساعت پر و لوله‌ای دیگر آن را در b ساعت خالی کند، نرخ خالص ۱/a - ۱/b است؛ البته برای پر شدن باید این مقدار مثبت باشد. اگر مخزن ابتدا به اندازه q پر باشد، معادله مقدار نهایی چنین است: q + نرخ خالص × زمان = مقدار موردنظر.

حل نمونه با توقف یک عامل

فردی کاری را در ۶ ساعت و فرد دیگری همان کار را در ۱۲ ساعت انجام می‌دهد. اگر هر دو ۲ ساعت با هم کار کنند، سهمشان برابر ۲(۱/۶+۱/۱۲)=۲×۱/۴=۱/۲ است؛ بنابراین نصف کار باقی می‌ماند. اگر فرد سریع‌تر کنار برود، فرد دوم برای نیمه باقی‌مانده به ۶ ساعت دیگر نیاز دارد، چون نرخ او ۱/۱۲ است و (۱/۲)÷(۱/۱۲)=۶. زمان کل ۸ ساعت می‌شود.

کنترل جواب و خطاهای رایج

واحد زمان همه داده‌ها را یکسان کن. اگر کسی کاری را در ۴ ساعت انجام می‌دهد، نرخ او ۱/۴ کار در ساعت است، نه ۴. در مسائل خروجی، علامت نرخ را منفی بگیر و مطمئن شو مخرج صفر نمی‌شود. در پایان، زمان به‌دست‌آمده را در نرخ کل ضرب کن؛ اگر حاصل با مقدار کار مسئله برابر نشد، ترتیب فعالیت‌ها یا علامت‌ها را دوباره بررسی کن.

جمع‌بندی مسائل کار و زمان ریاضی

کل کار را ۱ بگیر، نرخ هر عامل را از معکوس زمان مستقلش بساز، برای همکاری نرخ‌ها را جمع کن و برای خروجی‌ها نرخ منفی قرار بده. سپس سهم هر مرحله را جداگانه بنویس و باقیمانده کار را پیدا کن. مهم‌ترین نکته این است که همکاری بر پایه نرخ انجام می‌شود، نه جمع یا میانگین ساده زمان‌ها.

تمرین خودسنجی با پاسخ