ناوردای جبری؛ راهی برای دیدن کمیت ثابت در مسئله‌های ریاضی

پاسخ کوتاه

در بعضی مسئله‌های ریاضی، مقدار تک‌تک متغیرها مدام تغییر می‌کند، اما ترکیبی از آن‌ها ثابت می‌ماند. به این ترکیب ثابت «ناوردا» می‌گوییم. پیدا کردن ناوردا باعث می‌شود به‌جای دنبال‌کردن همه حالت‌ها، مستقیماً سراغ ویژگی‌ای برویم که هیچ عملیات مجازی نمی‌تواند آن را تغییر دهد. این ایده در مسائل عددی، جبری و حتی بازی‌های فکری کاربرد دارد و مهارتی برای استدلال است، نه یک فرمول حفظی.

ناوردا دقیقاً چیست؟

فرض کن وضعیتی با متغیرهای x و y داریم و هر حرکت آن را به وضعیت جدیدی تبدیل می‌کند. اگر عبارت I(x,y) پس از هر حرکت همان مقدار قبلی را داشته باشد، I را ناوردای مسئله می‌نامیم. به زبان نمادی، اگر حرکت T باشد، شرط ناوردایی چنین است: I(T(x,y))=I(x,y). برای کشف آن، باید اثر عملیات را روی جمع، تفاضل، حاصل‌ضرب، زوج‌وفردی یا باقیمانده‌ها بررسی کنیم.

چطور نامزد ناوردا بسازیم؟

ابتدا یک حرکت را دقیق بنویس و قبل و بعد آن را مقایسه کن. اگر در هر مرحله دو مقدار به‌اندازه یکسانی زیاد و کم می‌شوند، جمع یا تفاضل آن‌ها می‌تواند نامزد ناوردا باشد. اگر هر دو مقدار با یک عدد مشترک ضرب یا تقسیم شوند، نسبت یا عامل مشترک را بررسی کن. در مسائل عدد صحیح، زوج یا فرد بودن و باقیمانده نسبت به یک عدد نیز نامزدهای مهمی هستند.

ناوردای زوج و فردی

اگر عملیاتی مانند افزودن ۲ یا جابه‌جایی دو عدد انجام شود، زوج یا فرد بودن بعضی کمیت‌ها تغییر نمی‌کند. برای نمونه، در هر عدد صحیح n، عبارت n(n+1) همیشه زوج است؛ زیرا یکی از دو عدد پیاپی زوج است. بنابراین اگر در روند مسئله این حاصل‌ضرب حفظ شود، رسیدن به وضعیتی با مقدار فرد ناممکن خواهد بود. دقت کن که ناوردای زوج‌وفردی فقط ثابت‌ماندن مقدار دقیق نیست؛ ثابت‌ماندن کلاس باقیمانده نیز کافی است.

نمونه استدلال مرحله‌به‌مرحله

روی تخته عددهای ۱ تا ۱۰ نوشته شده‌اند. در هر حرکت، دو عدد را پاک می‌کنیم و قدرمطلق تفاضلشان را می‌نویسیم. تعداد عددها در هر حرکت یک واحد کم می‌شود، اما برای بررسی زوج‌وفردی مجموع، داریم |a-b|≡a+b (mod 2)، چون منفی‌کردن یا قدرمطلق‌گرفتن علامت را در پیمانه ۲ بی‌اثر می‌کند. پس زوج‌وفردی مجموع عددها ثابت می‌ماند. مجموع اولیه ۵۵ فرد است؛ در پایان فقط یک عدد می‌ماند و آن عدد باید فرد باشد. این نتیجه بدون بررسی انتخاب‌های مختلف به دست آمد.

تفاوت ناوردا با کمیت کاهشی

ناوردا ثابت می‌ماند، اما کمیت کاهشی در هر حرکت کوچک‌تر می‌شود. این دو را نباید یکی دانست. برای اثبات اینکه روندی حتماً پایان می‌یابد، تعداد حالت‌های باقی‌مانده یا مجموع فاصله‌ها می‌تواند کمیت کاهشی باشد. برای اثبات ناممکن‌بودن یک حالت، معمولاً ناوردای زوج‌وفردی یا پیمانه‌ای مناسب‌تر است. گاهی یک مسئله به هر دو نیاز دارد: کمیت کاهشی پایان را تضمین می‌کند و ناوردا حالت نهایی را محدود می‌سازد.

چک‌لیست حل تست

۱) وضعیت آغاز و پایان را جدا بنویس. ۲) یک حرکت عمومی را با نمادگذاری ساده مدل کن. ۳) تغییر جمع، تفاضل، حاصل‌ضرب و باقیمانده‌ها را بررسی کن. ۴) اگر عبارت دقیق ثابت نیست، آن را پیمانه‌ای بررسی کن. ۵) مقدار ناوردا را در آغاز حساب کن و با حالت مطلوب مقایسه کن. اگر این دو ناسازگار باشند، آن حالت قابل دستیابی نیست. اگر سازگار باشند، فقط امکان را رد نکرده‌ایم و هنوز باید وجود راه‌حل را جداگانه نشان دهیم.

تمرین‌های خودسنجی

تمرین ۱: از عدد ۸ شروع می‌کنیم و در هر مرحله یا ۳ واحد اضافه می‌کنیم یا ۳ واحد کم می‌کنیم. آیا رسیدن به عدد ۱ ممکن است؟ پاسخ: خیر. چون تغییر هر مرحله مضربی از ۳ است و باقیمانده عدد نسبت به ۳ ثابت می‌ماند. عدد ۸ نسبت به ۳ باقیمانده ۲ دارد، اما ۱ باقیمانده ۱ دارد. تمرین ۲: آیا می‌توان با چند بار جابه‌جایی دو مهره، آرایشی را به آرایشی رساند که در آن تعداد مهره‌های قرمز از حالت اول یک واحد بیشتر باشد؟ پاسخ: اگر جابه‌جایی فقط جای مهره‌ها را عوض کند، تعداد مهره‌های قرمز ناورداست و اصلاً تغییر نمی‌کند؛ پس چنین آرایشی دست‌یافتنی نیست. تمرین ۳: در هر حرکت از دو عدد صحیح، عدد بزرگ‌تر را ۲ واحد کم و عدد کوچک‌تر را ۲ واحد زیاد می‌کنیم. زوج‌وفردی مجموع دو عدد چه تغییری می‌کند؟ پاسخ: مجموع ثابت می‌ماند، زیرا تغییر کل برابر −۲+۲=۰ است؛ بنابراین زوج‌وفردی آن نیز ثابت خواهد بود.

تمرین خودسنجی با پاسخ