نامساوی حسابی–هندسی؛ کمینه و بیشینه بدون مشتق
آموزش نامساوی AM-GM، شرط مثبت بودن و برابری جملهها برای حل سریع مسائل کمینه و بیشینه کنکور.
پاسخ کوتاه
نامساوی میانگین حسابی–هندسی یکی از سریعترین ابزارهای بهینهسازی بدون مشتق است. کاربرد درست آن سه شرط دارد: جملهها باید نامنفی باشند، مجموع یا حاصلضرب مناسب ثابت بماند و حالت برابری در دامنه مسئله قابل دستیابی باشد.
فرم دو جملهای
برای a,b≥0 داریم (a+b)/2≥√(ab)، پس a+b≥2√(ab). برابری دقیقاً وقتی رخ میدهد که a=b باشد. این رابطه هم میتواند کمینه مجموع با حاصلضرب ثابت و هم بیشینه حاصلضرب با مجموع ثابت را پیدا کند.
تعداد بیشتر جملهها
برای n عدد نامنفی، میانگین حسابی دستکم میانگین هندسی است. یعنی مجموع تقسیم بر n از ریشه nام حاصلضرب کمتر نیست. حالت برابری زمانی است که همه جملهها برابر باشند؛ پس تقسیم هوشمند عبارت به جملههای همارزش اهمیت دارد.
ساخت حاصلضرب ثابت
در عبارتهایی مانند x+9/x با x>0، دو جمله x و 9/x حاصلضرب ثابت 9 دارند. بنابراین مجموع آنها حداقل 2√9=6 است. شرط x>0 ضروری است؛ برای x منفی این استدلال قابل استفاده مستقیم نیست.
تنظیم ضرایب
برای کمینه 2x+8/x میتوان جملهها را 2x و 8/x گرفت که حاصلضرب 16 دارند؛ پس کمینه 8 است و برابری در 2x=8/x یعنی x=2 رخ میدهد. شکستن عبارت به تعداد نامناسب ممکن است کران ضعیفی بسازد.
مثال و تست کوتاه
اگر x>0 باشد، کمینه x+16/x برابر 8 است، زیرا x+16/x≥2√16=8. تساوی زمانی رخ میدهد که x=16/x، پس x=4. جایگذاری مقدار 4 نیز مجموع 4+4=8 را تأیید میکند.
چکلیست حل تست
- پیش از AM-GM مثبت بودن جملهها را بررسی کن.
- حالت برابری را حتماً در دامنه پیدا کن.
- برای مجموع دو جمله، حاصلضرب ثابت را جستوجو کن.