حل مسئله زاویه بین دو خط با شیب؛ فرمول و کنترل علامت

پاسخ کوتاه

برای حل مسئله زاویه بین دو خط با شیب، ابتدا شیب هر خط را از معادله یا دو نقطه پیدا کن و سپس از رابطه تانژانت زاویه استفاده کن. اگر شیب‌ها m1 و m2 باشند، برای زاویه θ بین دو خط داریم: tanθ=|(m2-m1)/(1+m1m2)|؛ قدرمطلق کمک می‌کند زاویه حاد میان دو خط به دست آید. اگر 1+m1m2=0 باشد، دو خط عمودند و زاویه آن‌ها 90 درجه است.

حل مسئله زاویه بین دو خط با شیب

شیب خط باید در هر دو خط با یک قرارداد یکسان به دست آید. در فرم y=mx+b، ضریب x همان شیب است. اگر خط به صورت Ax+By+C=0 نوشته شده باشد و B صفر نباشد، با تبدیل آن به y=(-A/B)x-C/B، شیب برابر -A/B می‌شود. سپس m1 و m2 را در فرمول قرار بده و فقط در پایان درباره نوع زاویه تصمیم بگیر.

چرا قدرمطلق در فرمول لازم است؟

جهت نام‌گذاری دو خط می‌تواند عوض شود یا یکی از شیب‌ها منفی باشد؛ بنابراین صورت کسر ممکن است منفی شود. چون tan زاویه حاد را مثبت می‌خواهیم، قدرمطلق می‌گیریم. این کار به معنی حذف بررسی هندسی نیست؛ اگر سؤال زاویه باز یا زاویه جهت‌دار بخواهد، باید قرارداد مسئله را جداگانه رعایت کنی.

مثال محاسباتی

فرض کن خط اول شیب 1 و خط دوم شیب 3 دارد. در فرمول می‌گذاریم: tanθ=|(3-1)/(1+1×3)|=2/4=1/2. پس θ زاویه‌ای است که تانژانت آن 1/2 است. اگر مقدار تقریبی زاویه خواسته نشده باشد، همین رابطه پاسخ دقیق و کافی است. برای کنترل، چون هر دو خط شیب مثبت دارند و شیب‌ها برابر نیستند، موازی نیستند و زاویه‌ای حاد میانشان وجود دارد.

تشخیص حالت‌های ویژه

اگر m1=m2، صورت کسر صفر است و دو خط موازی یا منطبق‌اند؛ در صورت سؤال باید عرض از مبدأ را نیز مقایسه کنی تا منطبق‌بودن مشخص شود. اگر m1m2=-1، مخرج صفر می‌شود و خط‌ها عمودند. خط عمودی شیب عددی ندارد؛ در این حالت بهتر است از جهت خط دوم یا هندسه شکل استفاده کنی، نه اینکه برای خط عمودی عددی فرض کنی.

مراحل سریع در آزمون

۱) معادله‌ها را به فرم مناسب تبدیل کن. ۲) عمودی‌بودن خط را بررسی کن. ۳) شیب هر خط را جداگانه بنویس. ۴) حاصل‌ضرب شیب‌ها و اختلاف آن‌ها را حساب کن. ۵) قدرمطلق و مخرج را کنترل کن. ۶) اگر پاسخ زاویه خاصی خواسته شده، مقدار تانژانت را با مقدار شناخته‌شده مقایسه کن. هرگز علامت شیب را با اندازه زاویه یکی ندان؛ خط نزولی فقط شیب منفی دارد و الزاماً زاویه میان دو خط منفی نیست.

جمع‌بندی زاویه و شیب

شیب‌ها اطلاعات جهت خط را فشرده می‌کنند و فرمول تانژانت آن‌ها را به زاویه تبدیل می‌کند. پیش از جایگذاری، فرم معادله و امکان عمودی‌بودن را بررسی کن. بعد از محاسبه، صفرشدن صورت نشانه موازی‌بودن و صفرشدن مخرج نشانه عمودبودن است. در سایر حالت‌ها، قدرمطلق کسر اندازه زاویه حاد را مشخص می‌کند.

تمرین‌های خودسنجی با پاسخ کامل

تمرین ۱: شیب دو خط 2 و -1/3 است. پاسخ: حاصل‌ضرب شیب‌ها برابر -2/3 و اختلاف آن‌ها برابر -7/3 است؛ بنابراین tanθ=|(-7/3)/(1-2/3)|=|( -7/3)/(1/3)|=7. پس زاویه حاد، زاویه‌ای با تانژانت 7 است. تمرین ۲: آیا دو خط با شیب‌های 4 و -1/4 عمودند؟ پاسخ: حاصل‌ضرب برابر -1 است؛ بنابراین 1+m1m2=0 و دو خط عمودند، حتی اگر عرض از مبدأ آن‌ها متفاوت باشد. تمرین ۳: شیب دو خط 5 و 5 است. پاسخ: اختلاف شیب‌ها صفر است؛ پس tanθ=0 و خطوط موازی یا منطبق‌اند. برای تفکیک، باید ثابت‌های معادله یا یک نقطه از هر خط را مقایسه کرد.

تمرین خودسنجی با پاسخ