قضیه نیمساز مثلث؛ نسبت پارهخطها و طول نیمساز
آموزش قضیه نیمساز داخلی و خارجی، محاسبه نسبت ضلعها و استفاده از فرمول طول نیمساز در تست هندسه.
پاسخ کوتاه
نیمساز زاویه یک رأس، ضلع مقابل را متناسب با دو ضلع مجاور تقسیم میکند. این رابطه ساده در بسیاری از تستهای طول، نسبت و مساحت پنهان است و با تشخیص درست ضلعهای مجاور، محاسبات تشابه یا قانون کسینوس را کوتاه میکند.
قضیه نیمساز داخلی
در مثلث ABC اگر AD نیمساز زاویه A و D روی BC باشد، آنگاه BD/DC=AB/AC. ترتیب نسبت مهم است: پارهخط نزدیک B با ضلع AB و پارهخط نزدیک C با ضلع AC متناظر میشود.
یافتن دو قسمت ضلع
اگر BC=a و نسبت AB/AC=m/n باشد، ضلع BC به همان نسبت m به n تقسیم میشود. بنابراین BD=am/(m+n) و DC=an/(m+n) است؛ این روش از حل دستگاه دو معادله جدا سریعتر است.
عکس قضیه
اگر نقطه D روی BC چنان باشد که BD/DC=AB/AC، خط AD نیمساز زاویه A است. در سؤالهای اثباتی یا چندگزینهای میتوان با کنترل همین تناسب، نیمسازبودن یک پارهخط را بدون محاسبه زاویهها نتیجه گرفت.
نیمساز خارجی
نیمساز خارجی، امتداد ضلع مقابل را به نسبت دو ضلع مجاور تقسیم میکند. در نسبتهای جهتدار علامت اهمیت دارد؛ در مسائل طولی معمولاً قدرمطلق نسبت نوشته میشود و باید از شکل تشخیص داد نقطه تقسیم بیرون پارهخط قرار دارد.
طول نیمساز
اگر ضلعهای مجاور زاویه A برابر b و c و ضلع مقابل a باشد، طول نیمساز داخلی از رابطه l²=bc[1-a²/(b+c)²] به دست میآید. همچنین l=2bc cos(A/2)/(b+c) است و انتخاب فرمول به دادههای تست بستگی دارد.
مثال و تست کوتاه
در مثلثی با AB=6، AC=9 و BC=10، نیمساز A ضلع BC را با نسبت 2 به 3 تقسیم میکند. پس BD=4 و DC=6 است؛ جمع دو قسمت 10 و نسبت 4/6=6/9 صحت محاسبه را کنترل میکند.
چکلیست حل تست
- پارهخط هر سمت را با ضلع مجاور همان سمت متناظر کن.
- برای تقسیم ضلع از مجموع قسمتهای نسبت استفاده کن.
- نیمساز خارجی ضلع مقابل را بیرون پارهخط تقسیم میکند.