قضیه آپولونیوس؛ طول میانه و رابطه ضلعهای مثلث
آموزش محاسبه طول میانه با قضیه آپولونیوس، تبدیل رابطه ضلعها و حل تستهای مثلث بدون رسم کمکی.
پاسخ کوتاه
قضیه آپولونیوس رابطهای میان سه ضلع مثلث و طول یک میانه میسازد و در واقع شکل فشردهای از دو بار استفاده از قانون کسینوسهاست. با تعیین دقیق ضلع مقابل میانه میتوان طول مجهول یا نوع مثلث را بدون یافتن زاویه محاسبه کرد.
بیان قضیه
در مثلث ABC اگر M وسط BC باشد، AB²+AC²=2(AM²+BM²). چون BM=BC/2 است، رابطه معادل AM²=(2AB²+2AC²-BC²)/4 به دست میآید.
تشخیص ضلعها
در فرمول میانه واردشده از رأس A، ضلع BC همان ضلعی است که نصف میشود. جابهجاکردن ضلع مقابل با یکی از ضلعهای مجاور مقدار غلط میسازد؛ پیش از جایگذاری، رأس و وسط ضلع را روی شکل علامت بزن.
مثلث قائم
در مثلث قائم، میانه وارد بر وتر نصف وتر است. این نتیجه از آپولونیوس و فیثاغورس به دست میآید و عکس آن نیز برقرار است: اگر میانه یک ضلع نصف همان ضلع باشد، مثلث در رأس مقابل قائم است.
سه میانه
برای ضلعهای a، b و c، میانه وارد بر a از رابطه ma=1/2√(2b²+2c²-a²) محاسبه میشود. فرمول دو میانه دیگر با جابهجایی منظم حروف ساخته میشود؛ شاخص میانه همیشه ضلع مقابل آن را نشان میدهد.
مثال حلشده
در مثلثی با ضلعهای مجاور 5 و 7 و ضلع مقابل میانه 8، داریم m²=(2×25+2×49-64)/4=84/4=21؛ پس طول میانه √21 است و چون مثبت و کمتر از ضلعهای بزرگ است، نتیجه معقول به نظر میرسد.
کاربرد تستی
اگر مجموع مربع دو ضلع و طول میانه داده شود، رابطه را برای ضلع سوم حل کن. گاهی مقایسه ma با a/2 نوع زاویه مقابل را نشان میدهد؛ برابری حالت قائم و بزرگتر یا کوچکترشدن با حاده یا منفرجهبودن مرتبط است.
چکلیست حل تست
- ضلع زیرنویس میانه، ضلع مقابل آن است.
- در مثلث قائم میانه وتر نصف وتر است.
- برای جلوگیری از خطا ابتدا فرمول مربع میانه را بنویس.