محاسبه مساحت ناحیه بین دو خط در صفحه مختصات؛ از تقاطع تا جواب نهایی

پاسخ کوتاه

محاسبه مساحت ناحیه بین دو خط در صفحه مختصات با پیدا کردن همه مرزهای ناحیه، به‌دست‌آوردن نقاط تقاطع و سپس انتخاب فرمول مناسب انجام می‌شود. اگر ناحیه با محورهای مختصات بسته شود، کافی است عرض از مبدأها و نقطه تقاطع خط‌ها را پیدا کنید؛ بعد شکل حاصل را به مثلث یا ذوزنقه تبدیل کنید.

محاسبه مساحت ناحیه بین دو خط در صفحه مختصات از کجا شروع می‌شود؟

ابتدا معادله هر خط را به شکل y=mx+b بنویسید تا برخورد آن با محور y روشن شود. سپس مشخص کنید ناحیه با کدام محور یا خط‌های دیگر بسته شده است. فقط خط‌ها به‌تنهایی همیشه یک ناحیه محدود نمی‌سازند؛ باید مرز بسته داشته باشیم. نقاط تقاطع را روی یک طرح ساده علامت بزنید.

پیدا کردن نقطه تقاطع دو خط

برای تقاطع دو خط، مقدارهای y را برابر قرار دهید. مثلاً برای y=2x+1 و y=-x+7 داریم 2x+1=-x+7، پس 3x=6 و x=2. با جایگذاری، y=5 به دست می‌آید؛ بنابراین نقطه تقاطع (2,5) است. این نقطه یکی از رأس‌های ناحیه محسوب می‌شود.

مثال محاسباتی با دو محور مختصات

ناحیه‌ای را در نظر بگیرید که با خط‌های y=x+2 و y=-x+6 و محور x محصور شده است. برخورد خط اول با محور x از رابطه 0=x+2، برابر A=(-2,0) است. برخورد خط دوم با محور x از رابطه 0=-x+6، برابر B=(6,0) است. نقطه تقاطع دو خط از x+2=-x+6 به دست می‌آید؛ بنابراین x=2 و y=4 و رأس سوم C=(2,4) است.

انتخاب فرمول مناسب برای مساحت

سه رأس A، B و C یک مثلث می‌سازند. قاعده AB روی محور x قرار دارد و طول آن 6-(-2)=8 است. ارتفاع مثلث فاصله عمودی C از محور x، یعنی 4، است. پس مساحت برابر نصف حاصل‌ضرب قاعده و ارتفاع است: ۱/۲×۸×۴=۱۶ واحد مربع. در این روش لازم نیست شیب دو ضلع را جداگانه محاسبه کنید.

اگر ناحیه چهار رأس داشته باشد

برای ناحیه چهارضلعی، نخست بررسی کنید شکل ذوزنقه، مستطیل یا متوازی‌الاضلاع است. اگر دو ضلع موازی افقی باشند، مساحت ذوزنقه از رابطه نصف مجموع قاعده‌ها ضرب‌در ارتفاع به دست می‌آید. اگر شکل نامنظم باشد، رأس‌ها را به ترتیب دور شکل بنویسید و آن را به دو مثلث تقسیم کنید؛ مجموع مساحت دو مثلث پاسخ است.

کنترل علامت و ترتیب رأس‌ها

در نقطه تقاطع، هر دو معادله باید یک مقدار یکسان برای y بدهند. هنگام خواندن طول روی محور x، اختلاف مختصات را به‌صورت مقدار مثبت بگیرید. همچنین ارتفاع باید فاصله عمودی باشد، نه طول مورب ضلع. یک طرح کوچک کمک می‌کند ناحیه بیرونی را به جای ناحیه محصور انتخاب نکنید.

جمع‌بندی؛ مسیر کوتاه محاسبه مساحت

برای محاسبه مساحت ناحیه بین دو خط در صفحه مختصات، مرزهای بسته را مشخص کنید، معادله‌ها را برای یافتن تقاطع حل کنید، مختصات رأس‌ها را بنویسید و شکل را به مثلث‌ها یا شکل‌های شناخته‌شده تقسیم کنید. در مثال بالا، رأس‌ها (-2,0)، (6,0) و (2,4) بودند و مساحت نهایی ۱۶ واحد مربع شد.

تمرین‌های خودسنجی با پاسخ کامل

تمرین ۱: ناحیه محصور بین y=x+3، محور x و محور y را پیدا کنید و مساحتش را به دست آورید. پاسخ: خط با محور x در x=-3، یعنی A=(-3,0)، و با محور y در y=3، یعنی B=(0,3)، برخورد دارد. همراه مبدأ، مثلثی با قاعده ۳ و ارتفاع ۳ ساخته می‌شود؛ بنابراین مساحت ۱/۲×۳×۳=۹/۲ واحد مربع است. تمرین ۲: دو خط y=2x+4 و y=-x+10 همراه محور x یک ناحیه مثلثی می‌سازند. مساحت را بیابید. پاسخ: برخورد خط اول با محور x برابر (-2,0) و برخورد خط دوم برابر (10,0) است. تقاطع دو خط از 2x+4=-x+10 به دست می‌آید؛ پس x=2 و y=8. قاعده ۱۲ و ارتفاع ۸ است، بنابراین مساحت ۱/۲×۱۲×۸=۴۸ واحد مربع می‌شود.

تمرین خودسنجی با پاسخ