قضیه بیز در احتمال کنکور؛ درخت احتمال و احتمال معکوس
آموزش احتمال کل و قضیه بیز با نمودار درختی، تشخیص شرط و حل تستهای انتخاب جعبه یا گروه.
پاسخ کوتاه
قضیه بیز وقتی به کار میآید که نتیجهای مشاهده شده و میخواهیم احتمال علت آن را پیدا کنیم. مسیر حل از احتمالهای رو به جلو ساخته میشود: احتمال هر علت را در احتمال مشاهده نتیجه تحت آن علت ضرب میکنیم و سپس سهم مسیر مطلوب را بر مجموع همه مسیرهای سازگار تقسیم میکنیم.
تشخیص جهت شرط
P(A|B) احتمال A پس از دانستن B است و معمولاً با P(B|A) برابر نیست. در عبارت شرطی، رویداد بعد از خط عمودی فضای نمونه جدید را میسازد؛ جابهجایی دو رویداد بدون استفاده از فرمول بیز خطای رایج تستی است.
احتمال کل
اگر علتهای A1 تا An افراز فضای نمونه باشند، P(B)=ΣP(Ai)P(B|Ai) است. افراز یعنی علتها دو به دو ناسازگارند و مجموع آنها همه حالتها را پوشش میدهد؛ درخت احتمال این مسیرها را بهوضوح نمایش میدهد.
فرمول بیز
برای علت Ak و نتیجه B داریم P(Ak|B)=P(Ak)P(B|Ak)/P(B). صورت کسر فقط مسیر مشترک علت مطلوب و نتیجه مشاهدهشده است و مخرج مجموع احتمال همه مسیرهایی است که همان نتیجه B را تولید میکنند.
درخت احتمال
روی شاخه نخست احتمال انتخاب منبع یا گروه و روی شاخه دوم احتمال نتیجه مشروط به همان منبع را بنویس. احتمال یک مسیر حاصلضرب شاخههاست و برای رسیدن به یک نتیجه از چند مسیر ناسازگار، احتمال مسیرها با هم جمع میشود.
مثال حلشده
جعبه اول با احتمال 1/2 انتخاب میشود و 3 مهره سفید از 4 دارد؛ جعبه دوم نیز با احتمال 1/2 انتخاب میشود و 1 سفید از 4 دارد. پس P(سفید)=1/2 است و احتمال انتخاب جعبه اول با مشاهده سفید برابر (1/2×3/4)/(1/2)=3/4 میشود.
کنترل تستی
پاسخ پسین باید بین صفر و یک باشد و مشاهده نتیجهای که در یک علت محتملتر است، معمولاً وزن آن علت را افزایش میدهد. با نوشتن تعدادهای هممقیاس به جای کسر نیز میتوان مسیرها را سریع مقایسه کرد، به شرط حفظ احتمال اولیه علتها.
چکلیست حل تست
- P(A|B) را با P(B|A) جابهجا نکن.
- مخرج بیز احتمال کلِ نتیجه مشاهدهشده است.
- در درخت، شاخههای یک مسیر ضرب و مسیرهای همنتیجه جمع میشوند.