ضرایب دوجمله‌ای و مثلث پاسکال؛ راهنمای بسط‌های جبری

پاسخ کوتاه

ضرایب دوجمله‌ای و مثلث پاسکال کمک می‌کنند بسط عبارت‌هایی مانند (x+y)^n را بدون ضرب طولانی بنویسیم. در این درس، الگوی ضرایب، رابطه آن‌ها با ترکیب و روش پیدا کردن یک جمله مشخص را مرحله‌به‌مرحله می‌بینیم.

ایده اصلی بسط دوجمله‌ای

وقتی عبارت (x+y)^n را به صورت حاصل‌ضرب n عامل یکسان می‌نویسیم، هر جمله حاصل انتخاب تعدادی y از میان عامل‌ها و انتخاب x از عامل‌های باقی‌مانده است. اگر y را دقیقاً از k عامل انتخاب کنیم، تعداد انتخاب‌ها برابر C(n,k) است؛ بنابراین ضریب جمله x^(n-k)y^k همین مقدار خواهد بود.

ضرایب دوجمله‌ای و مثلث پاسکال

ضریب C(n,k) برابر n! تقسیم بر k!(n-k)! است، به شرط 0≤k≤n. برای نمونه، ضرایب توان چهارم از ردیف مربوط به n=4 به دست می‌آیند: 1، 4، 6، 4، 1. در مثلث پاسکال، هر عدد داخلی از جمع دو عدد بالای خود ساخته می‌شود؛ پس ساخت ردیف بعدی به محاسبه فاکتوریل نیاز ندارد.

جمله عمومی و پیدا کردن جمله دلخواه

جمله‌ای که از انتخاب k بار y به دست می‌آید، به شکل T_(k+1)=C(n,k)x^(n-k)y^k است. شماره جمله یک واحد بیشتر از k است. مثلاً در بسط (2x-3)^5، جمله چهارم با k=3 ساخته می‌شود: C(5,3)(2x)^2(-3)^3. پس علامت، توان متغیر و ضریب عددی را جداگانه کنترل کن.

قرینه و مجموع ضرایب

در هر ردیف مثلث پاسکال، ضرایب از دو طرف قرینه‌اند، زیرا C(n,k)=C(n,n-k). جمع همه ضرایب بسط (x+y)^n را با قرار دادن x=1 و y=1 می‌یابیم؛ حاصل 2^n است. اگر ضرایب یکی‌درمیان با علامت مثبت و منفی جمع شوند، x=1 و y=-1 را قرار می‌دهیم و برای n مثبت نتیجه صفر می‌شود.

مثال ترکیبی و کنترل پاسخ

برای یافتن ضریب x^3 در بسط (x+2)^6، باید توان x برابر 3 باشد؛ بنابراین n-k=3 و k=3. ضریب برابر C(6,3)×2^3=20×8=160 است. این روش از نوشتن همه جمله‌ها کوتاه‌تر است. برای کنترل، درجه هر جمله را بررسی کن: توان x به علاوه توان ثابت باید در مجموع شش باشد.

جمع‌بندی بسط و نکته‌های حل

در هر سؤال ابتدا n را تشخیص بده، سپس توان متغیر خواسته‌شده را با جمله عمومی تطبیق بده. اگر عبارت یکی از جمله‌ها منفی باشد، توان انتخاب‌شده علامت را تعیین می‌کند. برای جمله مستقل از x، توان x را صفر قرار بده. در پایان، مقدار ترکیب، توان عدد و علامت را جداگانه حساب کن تا خطای محاسباتی کم شود.

تمرین خودسنجی با پاسخ