توزیع دوجملهای؛ تعداد موفقیت در آزمایشهای مستقل
آموزش تشخیص مدل دوجملهای، محاسبه احتمال k موفقیت و استفاده از میانگین و واریانس این توزیع.
پاسخ کوتاه
توزیع دوجملهای تعداد موفقیتها را در n آزمایش مستقل با احتمال موفقیت ثابت p مدل میکند. ترتیب وقوع موفقیتها اهمیت دارد، اما متغیر تصادفی فقط تعداد آنها را ثبت میکند؛ ضریب ترکیب تعداد ترتیبهای ممکن را میشمارد.
شرطهای مدل
تعداد آزمایشها n ثابت، هر آزمایش دو پیامد موفقیت یا شکست، احتمال موفقیت p در همه مراحل یکسان و آزمایشها مستقلاند. نبود هر شرط میتواند استفاده مستقیم از فرمول دوجملهای را نامعتبر کند.
فرمول احتمال
اگر X تعداد موفقیتها باشد، P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k) برای k از صفر تا n است. توان p تعداد موفقیتها و توان 1-p تعداد شکستها را نشان میدهد؛ ضریب ترکیب جایگاه موفقیتها را انتخاب میکند.
حداقل و حداکثر
برای احتمال حداقل یک موفقیت، متمم سریعتر است: P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^n. عبارتهایی مانند حداکثر دو موفقیت با جمع احتمالهای k=0،1،2 محاسبه میشوند.
امید و واریانس
برای X دوجملهای با پارامترهای n و p، امید E(X)=np و واریانس Var(X)=np(1-p) است. انحراف معیار ریشه دوم این مقدار میشود؛ امید لزوماً عدد صحیح یا یک خروجی قطعی نیست.
مثال حلشده
سکه سالم چهار بار پرتاب میشود. احتمال دقیقاً دو شیر برابر C(4,2)(1/2)^2(1/2)^2=6/16=3/8 است. ضریب 6 ترتیبهای متفاوت قرارگرفتن دو شیر را میشمارد.
دام تستی
اگر انتخاب بدون جایگذاری از جامعه کوچک باشد، آزمایشها مستقل نیستند و احتمال موفقیت تغییر میکند؛ مدل فوقهندسی مناسبتر است. همچنین «دقیقاً k» را با «حداقل k» اشتباه نگیر و دامنه جمع را بنویس.
چکلیست حل تست
- چهار شرط مدل دوجملهای را پیش از فرمول کنترل کن.
- حداقل یک موفقیت را با متمم حساب کن.
- میانگین تعداد موفقیتها برابر np است.