نامساوی کوشی–شوارتز؛ کرانسازی و حالت برابری
آموزش فرمهای مهم نامساوی کوشی، شرط برابری و کاربرد آن در یافتن کمینه و اثبات نامساویهای کنکور.
پاسخ کوتاه
نامساوی کوشی–شوارتز رابطهای میان ضرب داخلی و اندازه بردارهاست، اما در تستها بیشتر به شکل ابزار کرانسازی ظاهر میشود. برای استفاده درست باید فرم مناسب را تشخیص دهیم و حالت برابری را کنترل کنیم تا کران بهدستآمده واقعاً قابل دستیابی باشد.
فرم اصلی
برای اعداد حقیقی a_i و b_i داریم (Σa_i²)(Σb_i²)≥(Σa_ib_i)². در حالت دو جملهای، (a²+b²)(x²+y²)≥(ax+by)² است. این فرم برای محدودکردن مجموع یا ترکیب خطی با داشتن مجموع مربعها کاربرد دارد.
شرط برابری
برابری زمانی رخ میدهد که دو بردار متناسب باشند؛ یعنی برای یک عدد λ، همه a_i=λb_i شوند. نوشتن مقدار کران بدون بررسی این شرط کافی نیست، زیرا ممکن است تناسب با دامنه یا محدودیتهای دیگر سؤال ناسازگار باشد.
فرم انگل
اگر u_i مثبت باشند، Σ(x_i²/u_i)≥(Σx_i)²/(Σu_i). این فرم که به لم تیتو نیز معروف است، کسرهای دارای صورت مربع را یکجا جمع میکند. مثبت بودن مخرجها شرط اساسی است و نباید از آن صرفنظر کرد.
کمینه با مجموع ثابت
از کوشی داریم (x²+y²)(1²+1²)≥(x+y)². اگر x+y=S باشد، پس x²+y²≥S²/2 و برابری در x=y رخ میدهد. این روش بدون مشتق کمینه مجموع مربعها را با مجموع ثابت پیدا میکند.
مثال و تست کوتاه
اگر x+y=10 باشد، کوشی میدهد 2(x²+y²)≥100، پس x²+y²≥50. شرط برابری x=y است و با محدودیت مجموع، x=y=5 میشود. جایگذاری 25+25=50 نشان میدهد کران دقیق و قابل دستیابی است.
چکلیست حل تست
- فرم کوشی را متناسب با دادههای سؤال انتخاب کن.
- در فرم کسری مخرجها باید مثبت باشند.
- برای اثبات کمینه، حالت برابری را در دامنه پیدا کن.