قضیه سوا در مثلث؛ تشخیص همرسی سه خط
آموزش قضیه سوا، نسبتهای روی ضلعها، شرط همرسی و حل تستهای طول و مساحت در هندسه مثلث.
پاسخ کوتاه
قضیه سوا سه خط وصلشده از رأسهای مثلث به ضلع مقابل را با یک حاصلضرب نسبتها مرتبط میکند. با نوشتن نسبتها در یک جهت منظم، میتوان همرسی را ثابت کرد یا نسبت مجهول را بدون محاسبه طول کامل ضلع یافت.
صورت قضیه
در مثلث ABC، اگر D روی BC، E روی CA و F روی AB باشند، خطهای AD، BE و CF همرساند اگر و تنها اگر (BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1. ترتیب نسبتها باید دور مثلث پیوسته حفظ شود.
تشخیص جهت نسبتها
از هر ضلع یک نسبتِ قطعه نزدیک رأس اول به قطعه نزدیک رأس دوم بساز و سپس به صورت چرخهای حرکت کن. اگر یکی از نسبتها وارونه شود، حاصلضرب دیگر یک نیست. بهتر است فرمول را پیش از جایگذاری نام نقاط بنویسی.
میانهها و نیمسازها
برای سه میانه، هر نسبت برابر یک است و سوا همرسی آنها را تأیید میکند. در نیمسازها، قضیه نیمساز هر نسبت را به نسبت دو ضلع مجاور تبدیل میکند و حاصلضرب چرخهای نسبتها نیز یک میشود.
ارتباط با مساحت
دو مثلث با ارتفاع مشترک نسبت مساحتشان برابر نسبت قاعدههاست. بنابراین اگر در سؤال به جای طول قطعهها مساحت ناحیهها داده شود، میتوان نسبتهای BD/DC و مانند آن را از نسبت مساحت مثلثهای دارای رأس مشترک استخراج کرد.
مثال و تست کوتاه
اگر BD/DC=2 و CE/EA=3 باشد و سه خط همرس باشند، سوا میدهد 2×3×AF/FB=1. پس AF/FB=1/6 است. وارونهکردن این نسبت جواب 6 میدهد که با ترتیب چرخهای فرمول سازگار نیست.
چکلیست حل تست
- نقاط را بهترتیب روی سه ضلع مشخص کن.
- جهت سه نسبت را به صورت چرخهای ثابت نگه دار.
- برای قاعدههای مشترک از نسبت مساحتها کمک بگیر.