طول وتر دایره با فاصله از مرکز؛ روش سریع حل مسئله

پاسخ کوتاه

برای به‌دست‌آوردن طول وتر دایره با فاصله از مرکز، کافی است عمود مرکز بر وتر را رسم کنیم؛ این عمود وتر را نصف می‌کند و با شعاع و نصف وتر یک مثلث قائم‌الزاویه می‌سازد. اگر شعاع r و فاصله مرکز تا وتر d باشد، نصف وتر برابر ریشه دوم r²−d² و طول کامل وتر برابر ۲√(r²−d²) است.

طول وتر دایره با فاصله از مرکز

فرض کنید مرکز دایره O، شعاع آن r و وتر AB باشد. از O بر AB عمود OH را رسم کنید. چون در مثلث‌های قائم OHA و OHB دو ضلع OA و OB برابر شعاع و ضلع OH مشترک است، دو مثلث هم‌نهشت‌اند؛ بنابراین AH=HB و H وسط وتر است. در مثلث OHA داریم OA²=OH²+AH². پس AH=√(r²−d²) و AB=2√(r²−d²)، به شرط آنکه ۰≤d≤r باشد.

چرا عمود مرکز وتر را نصف می‌کند؟

این نتیجه فقط یک فرمول حفظی نیست. دو سر وتر یعنی A و B از مرکز فاصله برابر r دارند. هر نقطه‌ای که از A و B فاصله برابر داشته باشد روی عمودمنصف AB قرار می‌گیرد؛ مرکز O نیز چنین ویژگی‌ای دارد. بنابراین خطی که مرکز را به وسط وتر وصل می‌کند بر وتر عمود است. این نکته در شکل‌های شلوغ کمک می‌کند جای مثلث قائم‌الزاویه را درست انتخاب کنید.

مراحل حل در تست

ابتدا شعاع و فاصله عمودی مرکز تا وتر را از شکل یا متن جدا کنید. سپس بررسی کنید فاصله از شعاع بزرگ‌تر نباشد. رابطه فیثاغورس را برای نصف وتر بنویسید، ریشه بگیرید و در پایان حاصل را دو برابر کنید. اگر سؤال مساحت ناحیه یا محیط را خواست، قبل از ادامه، مقدار وتر را به‌عنوان طول کامل وارد فرمول کنید؛ اشتباه رایج استفاده از نصف وتر به جای وتر است.

مثال محاسباتی

شعاع دایره‌ای ۱۳ و فاصله مرکز تا وتر ۵ است. نصف وتر از رابطه AH²=13²−5² به دست می‌آید؛ بنابراین AH²=169−25=144 و AH=12. طول وتر AB=2×12=24 است. کنترل هندسی هم ممکن است: چون فاصله مرکز تا وتر کمتر از شعاع است، وتر باید از قطر کوتاه‌تر باشد؛ ۲۴ نیز از قطر ۲۶ کوچک‌تر است.

حالت‌های مهم و کنترل پاسخ

اگر d=0 باشد، وتر از مرکز می‌گذرد و قطر است؛ فرمول ۲√r² برابر ۲r می‌شود. اگر d=r باشد، طول وتر صفر است و خط فقط در یک نقطه به دایره می‌رسد؛ در مسائل معمول وتر واقعی، فاصله باید کمتر از شعاع باشد. اگر عدد زیر رادیکال منفی شد، داده‌ها با یک وتر واقعی سازگار نیستند یا فاصله را اشتباه خوانده‌اید.

خطاهای رایج

فاصله مرکز تا وتر را با فاصله مرکز تا یکی از دو سر وتر عوض نکنید؛ فاصله موردنیاز، طول عمود از مرکز بر خط وتر است. همچنین ریشه دوم r²−d² نصف وتر را می‌دهد، نه خود وتر را. در شکل‌های بدون مقیاس، به ظاهر بلند یا کوتاه وتر اعتماد نکنید و از رابطه محاسباتی استفاده کنید.

جمع‌بندی و تمرین خودسنجی

قاعده اصلی این است: عمود مرکز بر وتر، آن را نصف می‌کند و رابطه طول وتر برابر ۲√(r²−d²) است. تمرین ۱: اگر شعاع ۱۰ و فاصله مرکز تا وتر ۶ باشد، طول وتر را بیابید. پاسخ: نصف وتر √(100−36)=√64=۸ است؛ پس طول وتر ۱۶ می‌شود. تمرین ۲: طول وتر ۱۸ و شعاع ۱۵ است؛ فاصله مرکز تا وتر را پیدا کنید. پاسخ: نصف وتر ۹ است، بنابراین d²=15²−9²=225−81=144 و d=۱۲. هر دو پاسخ از شعاع و قطر نیز قابل کنترل‌اند.

تمرین خودسنجی با پاسخ