جایگشت دوری؛ چیدمان دایرهای و شرط کنارهمبودن
آموزش شمارش چیدمان دور میز، حذف دورانهای یکسان و مدیریت شرط کنار هم یا جدا بودن افراد در تست.
پاسخ کوتاه
در چیدمان دایرهای، دوران همزمان همه افراد ترتیب تازهای نمیسازد؛ به همین دلیل یکی از افراد را ثابت میکنیم و بقیه را نسبت به او میچینیم. باید تشخیص داد مسئله فقط دوران را یکسان میداند یا تصویر آینهای را نیز همان آرایش حساب میکند.
فرمول پایه
تعداد چیدمان n فرد متمایز دور میز گرد برابر (n-1)! است. ثابتکردن یک فرد، تقارن دورانی را حذف میکند و n-1 نفر دیگر به صورت خطی چیده میشوند؛ استفاده مستقیم از n! هر آرایش را n بار میشمارد.
دوران و بازتاب
در نشستن دور میز، ترتیب ساعتگرد و پادساعتگرد معمولاً متفاوت است، زیرا همسایه راست و چپ عوض میشود. در گردنبند یا دستبند ممکن است تصویر آینهای نیز یکسان باشد؛ متن سؤال تعیین میکند آیا تقسیم اضافی بر دو لازم است.
کنارهمبودن
اگر دو فرد مشخص باید کنار هم باشند، آنها را یک بلوک در نظر بگیر. بلوک و n-2 فرد دیگر، در مجموع n-1 واحد دایرهای میسازند و (n-2)! چیدمان دارند؛ ترتیب داخلی دو نفر نیز دو حالت ایجاد میکند.
کنارهمنبودن
برای ممنوعیت کنارهمبودن دو فرد، از متمم استفاده کن: کل چیدمانها منهای چیدمانهایی که آن دو کنار هماند. این روش از ساخت مستقیم فاصلهها کوتاهتر است و احتمال فراموشکردن یک جایگاه را کم میکند.
مثال حلشده
شش نفر دور میز مینشینند؛ کل حالتها 5!=120 است. اگر علی و سارا کنار هم باشند، بلوک آنها با چهار نفر دیگر پنج واحد میسازد؛ 4!×2=48 حالت داریم، پس حالتهای غیرکنار 120-48=72 است.
دام تستی
در چیدمان دایرهای صندلیهای شمارهدار، دورانها دیگر یکسان نیستند و ممکن است n! حالت داشته باشیم. همچنین اگر یک جایگاه از قبل ثابت باشد، همان تثبیت تقارن انجام شده و نباید دوباره بر n تقسیم کرد.
چکلیست حل تست
- برای میز بدون شماره یکی را ثابت کن.
- شرط کنارهمبودن را با بلوک بساز.
- آینهایبودن فقط با تصریح نوع شیء یا سؤال حذف میشود.