مماس مشترک دو دایره؛ تبدیل مسئله هندسی به مثلث قائم

پاسخ کوتاه

در بسیاری از مسائل دو دایره، خط مماس مشترک در نگاه اول ناشناخته و پیچیده به نظر می‌رسد؛ اما فاصله عمودی هر مرکز تا خط مماس برابر شعاع همان دایره است. با استفاده از همین واقعیت، مسئله به یک مثلث قائم تبدیل می‌شود و طول مماس از رابطه‌ای ساده به دست می‌آید. ابتدا باید نوع تماس دو دایره و جایگاه خط مماس را درست تشخیص دهیم.

ایده هندسی اصلی

فرض کنید دو دایره با مرکزهای O و P و شعاع‌های r و R داریم و فاصله مرکزها برابر d است. اگر خطی هر دو دایره را لمس کند، شعاع‌های وصل‌شده از مرکزها به خط بر آن عمودند. بنابراین دو شعاع، همراه با بخشی از فاصله دو مرکز، یک مثلث قائم می‌سازند. ضلع افقی این مثلث همان طول پاره‌خط مماس میان دو نقطه تماس است.

مماس مشترک خارجی

در مماس مشترک خارجی، دو مرکز در یک طرف خط مماس قرار دارند. اختلاف فاصله عمودی مرکزها از خط برابر |R-r| است. اگر طول پاره‌خط میان نقاط تماس را L بنامیم، قضیه فیثاغورس می‌دهد: d²=L²+(R-r)². پس L=√(d²-(R-r)²). این فرمول فقط وقتی معنا دارد که d≥|R-r|؛ اگر دو دایره یکی کاملاً درون دیگری باشد و تماس مناسب نداشته باشند، چنین مماس مشترکی وجود ندارد.

مماس مشترک داخلی

در مماس مشترک داخلی، مرکزها در دو سوی خط مماس قرار دارند. فاصله عمودی آن‌ها از خط در یک جهت جمع می‌شود و برابر R+r است. در نتیجه مثلث قائم رابطه d²=L²+(R+r)² را دارد و طول مماس مشترک داخلی برابر L=√(d²-(R+r)²) است. شرط وجود این مماس آن است که d≥R+r. در حالت برابری، طول L صفر می‌شود؛ یعنی دو دایره در یک نقطه به هم مماس‌اند و خط مماس داخلی از همان نقطه عبور می‌کند.

چگونه نوع مماس را تشخیص دهیم

اگر خط مماس، دو دایره را بدون عبور از ناحیه میان دو مرکز لمس کند، معمولاً مماس خارجی است و اختلاف شعاع‌ها در فرمول ظاهر می‌شود. اگر خط بین دو مرکز قرار گیرد، مماس داخلی است و مجموع شعاع‌ها به کار می‌رود. در شکل‌های بدون مقیاس، به جای حدس‌زدن، موقعیت مرکزها نسبت به خط و جهت عمود شعاع‌ها را بررسی کنید. علامت منفی زیر رادیکال نیز هشدار می‌دهد که نوع مماس یا شرط وجود آن اشتباه انتخاب شده است.

مثال حل‌شده

دو دایره شعاع‌های 5 و 2 دارند و فاصله مرکزهایشان 13 است. برای مماس خارجی، اختلاف شعاع‌ها 3 است؛ بنابراین L=√(13²-3²)=√160=4√10. برای مماس داخلی، مجموع شعاع‌ها 7 است و L=√(13²-7²)=√120=2√30. چون 13 از هر دو مقدار 3 و 7 بزرگ‌تر است، هر دو نوع مماس می‌توانند وجود داشته باشند. نکته مهم این است که طول‌ها را با فاصله مرکزها مقایسه کنیم، نه با قطرها.

خطاهای رایج و کنترل پاسخ

در مماس خارجی نباید R+r را جای‌گذاری کرد و در مماس داخلی نباید |R-r| را نوشت. همچنین فاصله مرکزها d، وتر یا فاصله دو نقطه تماس نیست؛ این فاصله وتر مثلث قائم را تشکیل می‌دهد. پس از محاسبه، باید بررسی کنیم 0≤L≤d برقرار باشد. اگر شعاع‌ها برابر باشند، طول مماس خارجی L=d می‌شود؛ این حالت یک کنترل سریع و مفید برای فرمول است. در حل تشریحی، رسم دو عمود از مرکزها به خط مماس، مسیر استدلال را شفاف می‌کند.

تمرین خودسنجی با پاسخ