روش مقایسه دو تابع از روی نمودار؛ تشخیص برتری در هر بازه

پاسخ کوتاه

روش مقایسه دو تابع از روی نمودار این است که در هر مقدار x، ارتفاع دو نمودار را نسبت به محور افقی بسنجیم. هر نموداری که بالاتر قرار گرفته باشد، مقدار بیشتری دارد؛ محل برخورد دو نمودار نیز جایی است که دو مقدار برابر می‌شوند.

## پاسخ مستقیم: کدام تابع بزرگ‌تر است؟

اگر نمودارهای f و g را در یک دستگاه مختصات داشته باشیم، در هر بازه به ارتفاع آن‌ها نگاه می‌کنیم. هر جا نمودار f بالاتر از نمودار g باشد، f(x)>g(x) و هر جا پایین‌تر باشد، f(x)<g(x). نقاط تقاطع، جواب‌های معادله f(x)=g(x) هستند و باید جداگانه روی محور علامت‌گذاری شوند.

## روش مقایسه دو تابع از روی نمودار

ابتدا تمام نقاطی را که دو نمودار همدیگر را قطع یا لمس می‌کنند پیدا کن. این نقاط محور را به چند بازه تقسیم می‌کنند. سپس از هر بازه یک x آزمایشی انتخاب کن و فقط جای دو نمودار را در همان قسمت بخوان. لازم نیست مقدار دقیق تابع را محاسبه کنی؛ ترتیب ارتفاع‌ها برای تعیین علامت کافی است.

## تفاوت تقاطع و تماس

اگر دو نمودار از دو طرف نقطه‌ای جای خود را نسبت به یکدیگر عوض کنند، در آن نقطه ترتیبشان تغییر کرده است. اما در تماس، ممکن است نمودارها فقط به هم برسند و دوباره همان ترتیب قبلی را حفظ کنند. بنابراین صرف دیدن نقطه مشترک کافی نیست؛ باید دو طرف آن نقطه نیز بررسی شود.

## مثال حل‌شده با سه بازه

فرض کن دو نمودار در x=1 و x=4 مشترک باشند. در بازه x<1، نمودار f بالاتر از g است؛ در بازه 1<x<4، g بالاتر از f قرار دارد؛ و در x>4 دوباره f بالاتر است. پس f(x)>g(x) در بازه‌های (-∞,1) و (4,+∞) برقرار است. در x=1 و x=4 دو تابع برابرند، بنابراین برای نامساوی سخت وارد جواب نمی‌شوند.

## کنترل بازه‌ها و نقاط مرزی

اگر سؤال f(x)≥g(x) باشد، نقاط تقاطعِ تعریف‌شده وارد پاسخ می‌شوند و از کروشه استفاده می‌کنیم. برای f(x)>g(x)، همان نقاط حذف می‌شوند. اگر یکی از نمودارها در نقطه‌ای دایره توخالی داشته باشد، آن نقطه عضو دامنه نیست و حتی در نامساوی غیرسخت نیز نباید به پاسخ افزوده شود.

## چک‌لیست عملی حل سؤال

۱) دو نمودار و نام هرکدام را مشخص کن. ۲) نقاط مشترک را بخوان. ۳) آن نقاط را روی محور x علامت بزن. ۴) در هر بازه، نمودار بالاتر را تعیین کن. ۵) نوع نامساوی را بررسی کن. ۶) پاسخ را با اجتماع بازه‌ها و نوع درست پرانتز یا کروشه بنویس. در پایان، یک مقدار آزمایشی از هر بازه انتخاب کن تا ترتیب نمودارها را دوباره کنترل کنی.

## جمع‌بندی؛ مقایسه ارتفاع‌ها را فراموش نکن

برای مقایسه دو تابع، لازم نیست حتماً ضابطه آن‌ها را داشته باشیم. ارتفاع نمودارها در هر x اطلاعات اصلی را می‌دهد: نمودار بالاتر مقدار بزرگ‌تر و نقطه تقاطع محل برابری است. با تقسیم محور به بازه‌های حاصل از نقاط مشترک و توجه به سخت یا غیرسخت بودن نامساوی، پاسخ دقیق به دست می‌آید.

## تمرین‌های خودسنجی با پاسخ کامل

تمرین ۱: دو نمودار در x=-2 و x=3 همدیگر را قطع می‌کنند. نمودار f در بازه (-∞,-2) و (3,+∞) بالاتر است. مجموعه جواب f(x)>g(x) چیست؟ پاسخ: چون نامساوی سخت است، نقاط تقاطع وارد جواب نمی‌شوند. بنابراین پاسخ (-∞,-2)∪(3,+∞) است. تمرین ۲: دو نمودار فقط در x=1 تماس دارند و نمودار f در دو طرف تماس پایین‌تر از g است. جواب f(x)≤g(x) را بنویسید. پاسخ: f در دو طرف از g کوچک‌تر است و در x=1 برابر آن می‌شود. چون نامساوی غیرسخت است، نقطه تماس نیز وارد پاسخ می‌شود؛ بنابراین جواب همه دامنه تابع است، به شرط آنکه هر دو نمودار در تمام آن دامنه تعریف شده باشند. تمرین ۳: در بازه (0,5)، نمودار f بالاتر از g است، اما در x=2 هر دو مقدار برابرند. جواب f(x)≥g(x) چیست؟ پاسخ: نقطه x=2 برای نامساوی غیرسخت قابل قبول است. پس پاسخ [0,5] نیست، زیرا ابتدا و انتهای بازه داده‌شده باز هستند؛ پاسخ در همان دامنه برابر (0,5) است.

تمرین خودسنجی با پاسخ