حل احتمال با رویداد مکمل؛ راه کوتاه مسائل حداقل یک‌بار

پاسخ کوتاه

حل احتمال با رویداد مکمل زمانی مفید است که خواسته سؤال عبارتی مانند «حداقل یک بار»، «دست‌کم یکی» یا «حداقل یک موفقیت» باشد. به‌جای شمردن همه حالت‌های مطلوب، احتمال حالت مخالف را پیدا می‌کنیم و از یک کم می‌کاهیم: اگر A رویداد موردنظر باشد، آنگاه P(A)=1-P(Aᶜ). این روش فقط یک فرمول حفظی نیست؛ باید ابتدا دقیق تشخیص دهیم حالت مخالف جمله سؤال چیست.

حل احتمال با رویداد مکمل یعنی چه؟

متمم رویداد A، رویدادی است که A رخ ندهد. دو رویداد A و Aᶜ با هم همه حالت‌های ممکن را می‌سازند و اشتراک ندارند؛ بنابراین P(A)+P(Aᶜ)=1. مثلاً متمم «حداقل یک پاسخ درست» عبارت «هیچ پاسخ درستی» است، نه «دقیقاً یک پاسخ درست». همین تبدیل زبانی مهم‌ترین گام حل است.

عبارت‌های مناسب برای روش مکمل

هرگاه سؤال از «حداقل یکی»، «دست‌کم یک بار»، «حداقل یک موفقیت» یا «حداقل یک وسیله معیوب» صحبت کند، ابتدا متمم را بررسی کن. متمم «حداقل یک» معمولاً «صفر» است. اما متمم «دقیقاً دو» شامل همه تعدادهای به‌جز دو می‌شود و معمولاً محاسبه ساده‌ای ندارد؛ پس نباید هر سؤال را بی‌دلیل با مکمل حل کرد.

مثال محاسباتی با آزمایش‌های مستقل

فرض کن احتمال موفقیت در هر آزمایش برابر ۱/۳ باشد و سه آزمایش مستقل انجام دهیم. احتمال اینکه دست‌کم یک موفقیت رخ دهد، برابر یک منهای احتمال شکست در هر سه آزمایش است. احتمال شکست هر بار ۲/۳ است؛ بنابراین P(حداقل یک موفقیت)=1-(۲/۳)³=1-۸/۲۷=۱۹/۲۷. در اینجا شمردن حالت یک، دو و سه موفقیت به محاسبه‌های بیشتری نیاز داشت، اما مکمل مستقیم بود.

استقلال را با متمم اشتباه نکن

فرمول P(A)=1-P(Aᶜ) همیشه درست است، اما برای محاسبه متمم چند مرحله‌ای ممکن است به استقلال نیاز داشته باشیم. اگر رخدادها مستقل باشند، احتمال رخ‌دادن هم‌زمانشان در هم ضرب می‌شود؛ مثلاً P(شکست در سه بار)=(۲/۳)³. اگر آزمایش‌ها وابسته باشند، باید احتمال شرطی یا شمارش مستقیم را به کار ببریم و اجازه نداریم احتمال‌ها را خودکار ضرب کنیم.

چک‌لیست حل سریع

۱) رویداد خواسته‌شده را با یک جمله دقیق بنویس. ۲) جمله مخالف را پیدا کن و ببین آیا ساده‌تر است. ۳) اگر مراحل مستقل‌اند، احتمال متمم را با ضرب به دست آور. ۴) مقدار حاصل را از ۱ کم کن. ۵) پاسخ را بین صفر و یک کنترل کن. در مسئله‌های بدون جایگذاری، احتمال مرحله دوم معمولاً تغییر می‌کند و مستقل‌بودن باید جداگانه بررسی شود.

جمع‌بندی و تمرین‌های خودسنجی

متمم، راهی برای تبدیل یک رویداد دشوار به حالت مخالف ساده‌تر است. کلید کار، ترجمه درست عبارت‌های فارسی و کنترل استقلال مراحل است. تمرین ۱: سکه‌ای سالم را دو بار می‌اندازیم؛ احتمال حداقل یک شیر چیست؟ پاسخ: متممِ «حداقل یک شیر»، «دو خط» است. احتمال دو خط برابر ۱/۲×۱/۲=۱/۴، پس پاسخ ۱-۱/۴=۳/۴ است. تمرین ۲: احتمال قبولی یک داوطلب در هر تلاش ۰٫۴ و تلاش‌ها مستقل‌اند. احتمال اینکه در سه تلاش حداقل یک‌بار قبول شود چیست؟ پاسخ: متمم، رد شدن در هر سه تلاش است؛ احتمال آن ۰٫۶³=۰٫۲۱۶، بنابراین احتمال قبولی حداقل یک‌بار برابر ۱-۰٫۲۱۶=۰٫۷۸۴ است.

تمرین خودسنجی با پاسخ