تبدیل نسبت های مثلثاتی زاویه مکمل؛ جدول و حل تمرین

پاسخ کوتاه

برای تبدیل نسبت های مثلثاتی زاویه مکمل، کافی است رابطه زاویه‌ها با ۹۰ درجه را بشناسیم و بدانیم کدام نسبت جای خود را با نسبت متمم عوض می‌کند. چون زاویه مکمل دو زاویه‌ای است که مجموعشان ۹۰ درجه می‌شود، داریم sin(۹۰°−x)=cos x و cos(۹۰°−x)=sin x. همچنین tan(۹۰°−x)=cot x، البته وقتی نسبت‌ها تعریف شده باشند. این نتیجه‌ها حفظیِ پراکنده نیستند؛ از ضلع‌های مقابل و مجاور در مثلث قائم به‌دست می‌آیند.

تبدیل نسبت های مثلثاتی زاویه مکمل

اگر زاویه‌ای مانند x با زاویه ۹۰°−x مکمل باشد، ضلع مقابل x همان ضلع مجاور زاویه دوم می‌شود. بنابراین سینوس یکی با کسینوس دیگری برابر است. سه رابطه اصلی عبارت‌اند از sin(۹۰°−x)=cos x، cos(۹۰°−x)=sin x و tan(۹۰°−x)=cot x. در واحد رادیان، ۹۰° را با π/۲ جایگزین می‌کنیم.

چرا سینوس و کسینوس جابه‌جا می‌شوند؟

در مثلث قائم، sin x برابر ضلع مقابل تقسیم بر وتر و cos x برابر ضلع مجاور تقسیم بر وتر است. وقتی زاویه از x به ۹۰°−x تغییر می‌کند، مقابل و مجاور نسبت به زاویه جدید جابه‌جا می‌شوند؛ وتر ثابت می‌ماند. پس مقدار سینوس زاویه اول با کسینوس زاویه مکمل و برعکس برابر خواهد بود.

تانژانت و کتانژانت

تانژانت برابر نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است. در زاویه مکمل، این دو ضلع جای خود را عوض می‌کنند، پس tan(۹۰°−x)=cot x. از طرف دیگر cot x=۱/tan x است. مثلاً اگر tan x=۳/۴ باشد، tan(۹۰°−x)=۴/۳ خواهد بود؛ نیازی به محاسبه خود زاویه نداریم.

کنترل علامت و دامنه

در زاویه‌های تند مثلث قائم، همه نسبت‌ها مثبت‌اند. اما اگر عبارت با زاویه‌های بزرگ‌تر یا منفی داده شود، ابتدا باید علامت را از ربع دایره مثلثاتی بررسی کنیم. همچنین تقسیم بر صفر مجاز نیست؛ بنابراین برای تانژانت باید کسینوس صفر نباشد و برای کتانژانت سینوس صفر نباشد. تبدیل نمادها نباید شرط تعریف عبارت اولیه را حذف کند.

مثال محاسباتی

فرض کنید sin x=۵/۱۳ و x زاویه‌ای تند باشد. چون cos(۹۰°−x)=sin x، مقدار cos(۹۰°−x) برابر ۵/۱۳ است. اگر tan x=۲ باشد، cot(۹۰°−x)=tan x=۲ و در نتیجه tan(۹۰°−x)=۱/۲. در هر دو نمونه، ابتدا نسبت داده‌شده را شناسایی کردیم و سپس جای نسبت مکمل را نوشتیم.

روش حل سؤال‌های ترکیبی

در عبارت sin(۹۰°−x)+cos(۹۰°−x)، هر نسبت را جداگانه تبدیل می‌کنیم و به cos x+sin x می‌رسیم. اگر عبارت tan(۹۰°−x)·tan x باشد، آن را به cot x·tan x تبدیل می‌کنیم و در صورت تعریف بودن هر دو نسبت، حاصل برابر یک است. بهتر است قبل از ساده‌سازی، پرانتزها و شرط‌های تعریف را یادداشت کنیم.

جمع‌بندی تبدیل‌های مکمل

برای جمع‌بندی، در مکمل ۹۰ درجه سینوس و کسینوس جابه‌جا می‌شوند و تانژانت و کتانژانت جای یکدیگر را می‌گیرند. در درجه از ۹۰° استفاده می‌کنیم و در رادیان از π/۲. سپس باید علامت، ربع و تعریف‌پذیری را کنترل کنیم. این روش از حفظ‌کردن فهرست‌های طولانی مطمئن‌تر است. تمرین منظم با زاویه‌های نمادی کمک می‌کند رابطه‌ها در حل مسئله به‌صورت طبیعی به کار بروند.

تمرین خودسنجی با پاسخ