محاسبه احتمال شرطی با جدول دوطرفه؛ مخرج را درست انتخاب کن

پاسخ کوتاه

برای محاسبه احتمال شرطی با جدول دوطرفه، ابتدا باید جمعیتی را که شرط سؤال تعیین کرده است به‌عنوان مخرج انتخاب کنی؛ سپس تعداد حالت‌هایی را بشماری که هم شرط و هم رویداد خواسته‌شده را دارند. اگر رویداد A و شرط B باشند، تعریف اصلی چنین است: P(A|B)=P(A∩B)/P(B). در جدول، این یعنی تعداد خانه مشترک A و B تقسیم بر مجموع همان سطر یا ستونی که شرط B را نشان می‌دهد.

محاسبه احتمال شرطی با جدول دوطرفه

در جدول دوطرفه، سطرها و ستون‌ها دو ویژگی متفاوت را نشان می‌دهند. وقتی سؤال می‌گوید «با دانستن اینکه B رخ داده است»، دیگر کل جدول فضای مناسب نیست؛ فقط ردیف یا ستون مربوط به B باقی می‌ماند. مخرج برابر مجموع همان بخش است و صورت برابر خانه‌ای است که هم‌زمان A و B را دارد.

تفاوت احتمال مشترک و احتمال شرطی

احتمال مشترک P(A∩B) از تقسیم خانه مشترک بر کل افراد به دست می‌آید. اما احتمال شرطی P(A|B) از تقسیم همان خانه مشترک بر تعداد افراد گروه B محاسبه می‌شود. بنابراین این دو احتمال معمولاً برابر نیستند. عبارت بعد از «به شرط اینکه» مشخص می‌کند مخرج کدام جمع حاشیه‌ای باشد.

مثال محاسباتی با جدول

فرض کن جدول یک کلاس چنین باشد: ۱۸ نفر دختر و ۱۲ نفر پسر؛ از دختران، ۱۰ نفر در آزمون پذیرفته شده‌اند و از پسران، ۶ نفر پذیرفته شده‌اند. اگر بدانیم فرد انتخاب‌شده دختر است، احتمال پذیرفته‌شدن او برابر ۱۰ تقسیم بر ۱۸، یعنی ۵/۹، است. اگر سؤال احتمال دختر بودن و پذیرفته‌شدن را با هم بخواهد، پاسخ ۱۰ تقسیم بر ۳۰، یعنی ۱/۳، خواهد بود. تفاوت مخرج‌ها نکته اصلی است.

روش خواندن شرط از متن سؤال

کلمات «با فرض اینکه»، «در میان افرادِ»، «اگر بدانیم» و «از بین کسانی که» معمولاً شرط را معرفی می‌کنند. شرط را دور کلمه یا ویژگی مربوط خط بکش. سپس جمع همان سطر یا ستون را پیدا کن. اگر جدول درصدی باشد، باید مطمئن شوی درصدها برای کل جامعه‌اند یا فقط برای یک سطر یا ستون؛ این تشخیص از انجام محاسبه اشتباه جلوگیری می‌کند.

کنترل پاسخ با شمارش مستقیم

پس از نوشتن کسر، صورت و مخرج را با زبان ساده توضیح بده. مثلاً در مثال بالا، مخرج ۱۸ است چون فقط دختران مجازند و صورت ۱۰ است چون باید دخترِ پذیرفته‌شده باشد. احتمال شرطی باید بین صفر و یک باشد. اگر مخرج را کل افراد گرفته‌ای، احتمالاً شرط سؤال را نادیده گرفته‌ای.

جمع‌بندی: سه گام ثابت

برای حل این تیپ سؤال، نخست شرط را مشخص کن؛ دوم، جمع گروه شرط را به‌عنوان مخرج بنویس؛ سوم، خانه مشترک رویداد و شرط را به‌عنوان صورت قرار بده. در پایان، کسر را ساده کن و با شمارش لفظی کنترل کن. این روش برای جدول‌های فراوانی، جدول‌های دوویژگی و مسئله‌های انتخاب تصادفی یکسان عمل می‌کند.

تمرین خودسنجی با پاسخ