قضیه فیثاغورس معکوس؛ تشخیص مثلث قائم از روی سه ضلع

پاسخ کوتاه

گاهی در مسئله سه ضلع یک مثلث داده می‌شود، اما زاویه‌ها یا ارتفاع مشخص نیستند. در چنین وضعی می‌توان بدون رسم دقیق، نوع مثلث را از روی رابطه میان مربع ضلع‌ها تشخیص داد. اگر بزرگ‌ترین ضلع را c و دو ضلع دیگر را a و b بنامیم، مقایسه a²+b² با c² کلید حل است. برابر بودن این دو مقدار، فقط یک محاسبه عددی نیست؛ از قضیه فیثاغورس نتیجه می‌شود که زاویه روبه‌روی c قائمه است. این روش برای کنترل جواب‌های هندسی و تشخیص سریع شکل مثلث کاربرد دارد.

صورت قضیه و دلیل آن

در هر مثلث، c را بزرگ‌ترین ضلع بگیر. اگر a²+b²=c² باشد، مثلث قائم‌الزاویه است و زاویه مقابل c برابر ۹۰ درجه خواهد بود. دلیل قضیه را می‌توان با قانون کسینوس دید: c²=a²+b²−2ab cos C. اگر c²=a²+b²، آنگاه 2ab cos C=0 است. چون a و b طول‌های مثبت‌اند، cos C=0 و بنابراین C=90° می‌شود.

چرا باید بزرگ‌ترین ضلع را انتخاب کنیم؟

زاویه بزرگ‌تر روبه‌روی ضلع بزرگ‌تر قرار دارد؛ پس برای مقایسه، باید ضلع روبه‌روی زاویه احتمالی را به‌عنوان c انتخاب کرد. اگر سه عدد ۶، ۸ و ۱۰ داده شده باشند، بررسی درست ۶²+۸² با ۱۰² است، نه مقایسه تصادفی دو ضلع. همچنین پیش از استفاده از قضیه باید مطمئن شویم اعداد واقعاً می‌توانند ضلع‌های یک مثلث باشند؛ یعنی مجموع هر دو ضلع از ضلع سوم بزرگ‌تر باشد.

تشخیص مثلث تندگوشه و کندگوشه

قانون کسینوس علاوه بر مثلث قائم، نوع زاویه مقابل بزرگ‌ترین ضلع را نیز مشخص می‌کند. اگر a²+b²>c² باشد، از رابطه قانون کسینوس نتیجه می‌شود cos C>0 و زاویه C تند است؛ پس مثلث تندگوشه است. اگر a²+b²<c² باشد، cos C<0 و زاویه C کند است. بنابراین سه حالت چنین‌اند: برابر، قائم؛ بزرگ‌تر، تندگوشه؛ کوچک‌تر، کندگوشه.

روش حل گام‌به‌گام

۱) بزرگ‌ترین ضلع را مشخص کن. ۲) مربع آن را حساب کن. ۳) مربع دو ضلع دیگر را جمع کن. ۴) دو مقدار را مقایسه کن. ۵) اگر لازم است شرط مثلث‌بودن را جدا کنترل کن. برای ضلع‌های ۷، ۲۴ و ۲۵ داریم ۷²+۲۴²=۴۹+۵۷۶=۶۲۵ و ۲۵²=۶۲۵؛ پس مثلث قائم است. در این محاسبه، ضلع ۲۵ وتر و زاویه روبه‌روی آن قائمه است.

خطاهای رایج و کنترل پاسخ

قرار دادن ضلع غیر‌بزرگ‌تر در نقش وتر ممکن است نتیجه‌ای ظاهراً قابل قبول اما نادرست بسازد. خطای دیگر این است که فقط برابری مربع‌ها را بررسی کنیم و شرط تشکیل مثلث را نادیده بگیریم. مثلاً اعداد ۱، ۲ و ۳ رابطه ۱²+۲²=۵ و ۳²=۹ ندارند و اصلاً مثلث تشکیل نمی‌دهند، چون ۱+۲=۳ است و شرط مثلث باید strict باشد. در پایان، نام زاویه قائمه را با ذکر ضلع روبه‌رو بیان کن.

کاربرد در مسائل ترکیبی هندسه

اگر دو ضلع عمود یک شکل مستطیلی یا یک مثلث مشخص باشند، فیثاغورس ضلع مورب را می‌دهد. برعکس، وقتی طول مورب و دو ضلع دیگر از داده‌های مسئله به دست آمده‌اند، قضیه معکوس کمک می‌کند ثابت کنیم دو مسیر عمودند. برای نمونه، در یک چهارضلعی می‌توان با نشان‌دادن برابری مربع یک قطر با مجموع مربع دو ضلع مجاور، قائم‌بودن زاویه را نتیجه گرفت؛ البته باید بدانیم این سه پاره‌خط در یک مثلث قرار دارند.

جمع‌بندی تصمیم سریع

بزرگ‌ترین ضلع را c بنویس و عدد D=a²+b²−c² را حساب کن. اگر D=0، مثلث قائم است؛ اگر D>0، مثلث تندگوشه است؛ اگر D<0، مثلث کندگوشه است. این خلاصه زمانی معتبر است که سه طول مثبت باشند و شرط تشکیل مثلث برقرار باشد. نوشتن همین سه کنترل کوتاه، هم سرعت حل را بالا می‌برد و هم مانع نتیجه‌گیری عجولانه از یک محاسبه ناقص می‌شود.

تمرین خودسنجی با پاسخ