سهمی در هندسه تحلیلی؛ رأس، محور تقارن و تقاطعها
آموزش تحلیل سهمی از روی معادله درجه دوم، یافتن رأس و محور تقارن و حل تستهای تقاطع.
پاسخ کوتاه
نمودار تابع درجه دوم با سه داده اصلی کنترل میشود: جهت بازشدن، محور تقارن و رأس. با تبدیل معادله به فرم رأسی یا استفاده از ضرایب، میتوان شکل نمودار و تعداد تقاطعها را بدون رسم دقیق تعیین کرد.
جهت بازشدن و محور تقارن
در y=ax²+bx+c، علامت a جهت بازشدن را تعیین میکند. اگر a مثبت باشد سهمی رو به بالا و اگر منفی باشد رو به پایین است. محور تقارن x=-b/(2a) از وسط ریشهها میگذرد.
مختصات رأس
طول رأس h=-b/(2a) و عرض آن f(h) است. در فرم y=a(x-h)²+k، رأس مستقیماً (h,k) دیده میشود. علامت h در پرانتز برعکس است و نباید با k اشتباه شود.
تقاطع با محورها
تقاطع با محور y در x=0 و برابر c است. تقاطعهای محور x ریشههای ax²+bx+c=0 هستند. علامت دلتا تعداد تقاطع با محور x را مشخص میکند: دو، یک یا صفر نقطه.
مثال حلشده
برای y=x²-4x+3، محور تقارن x=2 و رأس (2,-1) است. تجزیه (x-1)(x-3) ریشههای 1 و 3 را میدهد. تقارن ریشهها حول x=2 نیز کنترل سریعی برای محاسبه است.
تست کوتاه
سهمی y=-2(x+1)²+5 رأس (-1,5) دارد و رو به پایین باز میشود؛ بنابراین بیشینه تابع 5 است. محور تقارن x=-1 و برد تابع y≤5 خواهد بود.
چکلیست حل تست
- علامت a جهت بازشدن را تعیین میکند.
- رأس فرم a(x-h)²+k برابر (h,k) است.
- ریشهها نسبت به محور تقارن متقارناند.