انتقال و دوران در دستگاه مختصات؛ تبدیل نقطه و شکل بدون رسم دشوار

پاسخ کوتاه

در بسیاری از مسائل هندسه تحلیلی، لازم نیست شکل جدید را از ابتدا رسم کنیم. اگر بدانیم هر نقطه پس از انتقال یا دوران چگونه تغییر می‌کند، می‌توان مختصات رأس‌ها، مرکز شکل و حتی معادله منحنی را مستقیم به دست آورد. نکته اصلی این است که انتقال، مختصات را با یک بردار جابه‌جا می‌کند؛ اما دوران، فاصله از مرکز دوران را حفظ کرده و جهت نقطه را تغییر می‌دهد. پیش از استفاده از فرمول، مرکز دوران، جهت چرخش و واحد زاویه را دقیق مشخص کن.

ایده انتقال در صفحه مختصات

اگر نقطه P(x,y) را به اندازه بردار (a,b) منتقل کنیم، مختصات تصویر آن برابر P'(x+a,y+b) است. مؤلفه افقی بردار، مقدار x را تغییر می‌دهد و مؤلفه عمودی، مقدار y را. برای مثال، انتقال نقطه (2,-1) به وسیله بردار (-3,4)، نقطه (-1,3) را می‌سازد. اگر گفته شود شکل به چپ یا پایین حرکت می‌کند، علامت مؤلفه مربوط منفی است. برای انتقال معکوس، بردار (a,b) با (-a,-b) جایگزین می‌شود.

چرا انتقال فاصله و زاویه را حفظ می‌کند؟

برای دو نقطه P و Q، اختلاف مختصات پس از انتقال چنین است: (x_Q+a)-(x_P+a)=x_Q-x_P و (y_Q+b)-(y_P+b)=y_Q-y_P. بنابراین مؤلفه‌های بردار PQ تغییر نمی‌کنند؛ در نتیجه طول پاره‌خط و زاویه‌های شکل ثابت می‌مانند. به همین دلیل، تصویر یک مثلث یا چندضلعی پس از انتقال با شکل اولیه هم‌نهشت است. این استدلال همچنین نشان می‌دهد شیب خطی که به صورت y=mx+c نوشته شده، پس از انتقال موازی باقی می‌ماند و فقط عرض از مبدأ آن تغییر می‌کند.

دوران حول مبدأ مختصات

اگر نقطه (x,y) حول مبدأ، به اندازه θ پادساعت‌گرد دوران کند، فرمول کلی تصویر آن چنین است: x'=x cosθ-y sinθ و y'=x sinθ+y cosθ. برای دوران ۹۰ درجه پادساعت‌گرد، فرمول به (-y,x) تبدیل می‌شود. برای دوران ۱۸۰ درجه، تصویر برابر (-x,-y) است و برای دوران ۹۰ درجه ساعت‌گرد، تصویر (y,-x) خواهد بود. در زاویه‌های خاص، بهتر است از این الگوها استفاده کنی و جدول علامت ربع‌ها را کنترل کنی.

استدلال فرمول دوران با مختصات قطبی

فرض کن نقطه P در فاصله r از مبدأ و با زاویه α نسبت به محور مثبت x قرار دارد. پس x=r cosα و y=r sinα است. بعد از دوران پادساعت‌گرد θ، زاویه جدید α+θ می‌شود. بنابراین x'=r cos(α+θ) و y'=r sin(α+θ). با اتحادهای جمع زاویه، داریم x'=r(cosα cosθ-sinα sinθ)=x cosθ-y sinθ و y'=r(sinα cosθ+cosα sinθ)=x sinθ+y cosθ. این نتیجه توضیح می‌دهد که دوران فاصله از مبدأ را تغییر نمی‌دهد، زیرا x'^2+y'^2=x^2+y^2.

دوران حول مرکز دلخواه

برای دوران نقطه P حول مرکز C(h,k)، ابتدا مرکز را مبدأ موقت در نظر بگیر: مختصات نسبی نقطه برابر (x-h,y-k) است. سپس فرمول دوران را روی این مختصات اجرا و در پایان (h,k) را برگردان. برای دوران ۹۰ درجه پادساعت‌گرد، نتیجه مستقیم چنین است: x'=h-(y-k) و y'=k+(x-h). ترتیب مراحل مهم است؛ اگر نقطه را بدون کم‌کردن مرکز بچرخانی، در واقع حول مبدأ دوران داده‌ای، نه حول C.

تبدیل معادله یک شکل

برای یافتن تصویر یک منحنی، می‌توان رأس‌ها یا نقاط مهم را تبدیل کرد و سپس معادله جدید را ساخت. در انتقال نمودار y=f(x) به اندازه (a,b)، معادله تصویر برابر y-b=f(x-a) است؛ زیرا نقطه جدید (x,y) از نقطه قدیمی (x-a,y-b) به دست می‌آید. این قاعده با جایگذاری ساده قابل کنترل است. در دوران، تبدیل معادله معمولاً به جایگذاری مختصات معکوس نیاز دارد؛ بنابراین برای شکل‌های ساده، تبدیل چند نقطه و استفاده از ویژگی‌های هندسی مانند مرکز و شعاع، کم‌خطاتر است.

خطاهای رایج و راه کنترل

در دوران ۹۰ درجه، جابه‌جایی x و y کافی نیست؛ علامت یکی از آن‌ها نیز عوض می‌شود. جهت ساعت‌گرد و پادساعت‌گرد را با یک نقطه آزمایشی مانند (1,0) بررسی کن. در انتقال، علامت بردار را با جهت حرکت مقایسه کن. همچنین اگر چند تبدیل پشت سر هم داده شد، هر بار مختصات جدید را جایگزین کن؛ ترتیب تبدیل‌ها معمولاً قابل جابه‌جایی نیست. در پایان، فاصله نقطه از مرکز دوران یا فاصله دو رأس را محاسبه کن تا نتیجه عددی کنترل شود.

تمرین خودسنجی با پاسخ