تشخیص تعداد جواب معادله از روی نمودار؛ شمارش تقاطع‌ها و تماس‌ها

پاسخ کوتاه

برای تشخیص تعداد جواب معادله از روی نمودار، ابتدا آن را به شکل برابرشدن دو تابع بنویسید؛ سپس تعداد نقاط مشترک نمودارهای دو طرف را بشمارید. هر نقطه تقاطع یک جواب حقیقی است، اما تماس نمودارها نیز یک جواب به شمار می‌آید و نباید به‌دلیل نداشتن عبور از یکدیگر نادیده گرفته شود.

H2: تشخیص تعداد جواب معادله از روی نمودار

معادله f(x)=g(x) یعنی باید xهایی را پیدا کنیم که ارتفاع دو نمودار در آن‌ها برابر است. اگر نمودارهای y=f(x) و y=g(x) را داشته باشیم، هر نقطه مشترک آن‌ها یک جفت مختصات (x,y) دارد و مؤلفه x یک جواب معادله است. بنابراین سؤال را از محاسبه مستقیم به شمارش نقاط مشترک تبدیل می‌کنیم. اگر نمودار فقط در یک نقطه به هم برسد، تعداد جواب یک است؛ اگر دو بار همدیگر را قطع کنند، دو جواب داریم.

H2: تبدیل معادله به تقاطع دو نمودار

گاهی یک طرف معادله صفر نیست؛ مثلاً x²-4x+3=2x-1. در این حالت تابع‌های f(x)=x²-4x+3 و g(x)=2x-1 را جداگانه در نظر بگیرید. حل جبری معادله همان پیدا کردن x مختصات نقاط تقاطع سهمی و خط است. اگر عبارت‌ها را به شکل h(x)=0 ببرید، در واقع تقاطع نمودار y=h(x) با محور x را می‌شمارید. این دو روش از نظر تعداد جواب یکسان‌اند، اما در شکل سؤال یکی از آن‌ها خواناتر است.

H2: تفاوت تقاطع، تماس و نبودن برخورد

در تقاطع معمولی، دو نمودار از دو سوی هم عبور می‌کنند؛ بااین‌حال برای شمارش جواب، تماس نیز کاملاً معتبر است. برای نمونه، معادله (x-2)²=0 فقط x=2 را دارد. نمودار y=(x-2)² محور x را در x=2 لمس می‌کند، ولی از آن عبور نمی‌کند؛ پس جواب صفر نیست و دقیقاً یک جواب دارد. اگر دو نمودار در یک نقطه مماس شوند، آن نقطه را یک‌بار بشمارید، نه دو بار. نبودن نقطه مشترک نیز یعنی معادله در اعداد حقیقی جوابی ندارد.

H2: نقش دامنه و بازه سؤال

ممکن است دو نمودار در کل صفحه سه نقطه مشترک داشته باشند، اما سؤال فقط بازه‌ای مانند 1≤x<4 را بخواهد. در این حالت فقط نقاطی را نگه دارید که مؤلفه x آن‌ها در بازه مجاز قرار دارد. کران بسته با علامت ≤ یا ≥ شامل می‌شود و کران باز با < یا > شامل نمی‌شود. همچنین اگر تابعی رادیکالی یا کسری باشد، شرط تعریف آن را پیش از شمارش بررسی کنید؛ نقطه‌ای که در دامنه نیست، جواب واقعی محسوب نمی‌شود.

H2: مثال محاسباتی و کنترل نموداری

معادله x²-4x+3=0 را در نظر بگیرید. با تجزیه داریم (x-1)(x-3)=0، پس x=1 یا x=3 و تعداد جواب دو است. از دید نمودار، سهمی y=x²-4x+3 محور x را در دو نقطه قطع می‌کند. برای کنترل سریع، رأس سهمی در x=2 و مقدار تابع در رأس برابر -1 است؛ چون سهمی رو به بالا است و رأس پایین محور قرار دارد، نمودار باید محور را در دو سمت رأس قطع کند. این بررسی، نتیجه جبری را تأیید می‌کند.

H2: چک‌لیست حل تست

۱) همه عبارت‌ها را به دو تابع یا یک تابع و محور x تبدیل کنید. ۲) دامنه و بازه خواسته‌شده را بنویسید. ۳) تقاطع‌ها و تماس‌ها را جدا از هم بشناسید. ۴) نقطه‌ای را که فقط به‌دلیل شکل تقریبی حدس زده‌اید، با جایگذاری یا بررسی علامت کنترل کنید. ۵) اگر نمودار در نقطه‌ای ناپیوسته یا دارای دایره توخالی است، آن نقطه را خودکار جواب ندانید. ۶) در پایان، تعداد نقاط مشترک معتبر را اعلام کنید، نه تعداد دفعات عبور ظاهری خطوط.

H2: جمع‌بندی؛ از شکل تا پاسخ دقیق

برابری دو تابع یعنی برابری ارتفاع دو نمودار؛ بنابراین جواب‌های حقیقی همان مؤلفه‌های افقی نقاط مشترک‌اند. تقاطع و تماس هر دو جواب محسوب می‌شوند، اما نقطه خارج از دامنه یا بازه مجاز حذف می‌شود. بهترین روش این است که ابتدا تصویر را به زبان تابع ترجمه کنید، سپس با یک محاسبه کوتاه مانند تجزیه، دلتا، جایگذاری یا بررسی رأس، شمارش تصویری را کنترل کنید. این ترکیب از مشاهده و محاسبه جلوی خطای شمردن نقطه تماس یا نادیده‌گرفتن کران‌های باز را می‌گیرد.

تمرین خودسنجی با پاسخ