شمارش اعداد چند رقمی بدون تکرار؛ روش جایگاه‌ها و صفر

پاسخ کوتاه

شمارش اعداد چند رقمی بدون تکرار زمانی ساده می‌شود که هر جایگاه را جداگانه بررسی کنیم. نکته اصلی این است که رقم اول نمی‌تواند صفر باشد، اما صفر در جایگاه‌های بعدی مجاز است. در این درس با روش شمارش اعداد چند رقمی بدون تکرار، ابتدا محدودیت جایگاه اول را جدا می‌کنیم، سپس برای هر جایگاه انتخاب‌های باقی‌مانده را می‌نویسیم و در پایان با یک بررسی مستقل، خطاهای رایج را پیدا می‌کنیم.

تشخیص جایگاه‌ها و شرط عدد چندرقمی

عدد چهاررقمی چهار جایگاه دارد: هزارگان، صدگان، دهگان و یکان. برای ساختن عدد چهاررقمی، انتخاب جایگاه هزارگان از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است؛ چون اگر این جایگاه صفر باشد، عدد در واقع سه‌رقمی دیده می‌شود. وقتی گفته می‌شود رقم‌ها تکرار نشوند، پس از انتخاب هر رقم، همان رقم از گزینه‌های جایگاه‌های بعدی حذف می‌شود. بنابراین تعداد انتخاب‌ها در هر مرحله معمولاً یک واحد کم می‌شود.

شمارش اعداد چند رقمی بدون تکرار

فرض کنید می‌خواهیم با رقم‌های ۰ تا ۹ عدد چهاررقمی بسازیم. برای جایگاه هزارگان، ۹ انتخاب داریم؛ یعنی همه رقم‌های ۱ تا ۹. پس از آن، برای صدگان ۹ انتخاب باقی می‌ماند، چون صفر و هشت رقم استفاده‌نشده دیگر مجازند. برای دهگان ۸ انتخاب و برای یکان ۷ انتخاب داریم. بنابراین تعداد کل برابر است با ۹×۹×۸×۷، یعنی ۴۵۳۶ عدد. این ضرب نشان می‌دهد چرا نباید برای همه جایگاه‌ها از یک تعداد ثابت استفاده کرد.

وقتی صفر در سؤال ممنوع یا اجباری است

اگر سؤال بگوید هیچ‌کدام از رقم‌ها صفر نباشند، دیگر محدودیت ویژه فقط برای جایگاه اول نداریم. برای ساخت عدد چهاررقمی از رقم‌های ۱ تا ۹، جایگاه اول ۹ انتخاب، جایگاه دوم ۸، جایگاه سوم ۷ و جایگاه چهارم ۶ انتخاب دارد؛ پس حاصل ۹×۸×۷×۶ است. اگر سؤال وجود صفر را اجباری کند، بهتر است دو حالت بسازیم: صفر در جایگاه‌های دوم، سوم یا چهارم باشد، چون در جایگاه اول مجاز نیست. سپس تعداد انتخاب‌های هر حالت را جداگانه به دست آوریم و جمع کنیم.

مثال محاسباتی با شرط رقم زوج

تعداد عددهای سه‌رقمیِ بدون تکرار را بیابید که با رقم‌های ۰ تا ۶ ساخته شوند و رقم یکان زوج باشد. رقم یکان می‌تواند یکی از ۰، ۲، ۴ یا ۶ باشد، اما چون صفر در جایگاه اول ممنوع است، دو حالت داریم. اگر یکان صفر باشد، صدگان از ۱ تا ۶ شش انتخاب و دهگان پنج انتخاب دارد؛ حاصل ۳۰ است. اگر یکان یکی از ۲، ۴ یا ۶ باشد، سه انتخاب برای یکان داریم، صدگان از رقم‌های ۱ تا ۶ به‌جز رقم انتخاب‌شده پنج انتخاب دارد و دهگان از پنج رقم باقی‌مانده، پنج انتخاب دارد؛ حاصل ۷۵ می‌شود. پاسخ نهایی ۳۰+۷۵=۱۰۵ است.

روش مکمل برای کنترل پاسخ

گاهی شمارش حالت‌های مجاز دشوار است. در این وضعیت می‌توان ابتدا همه عددهای ممکن را شمرد و سپس حالت‌های نامطلوب را کم کرد. برای نمونه، تعداد عددهای سه‌رقمی با رقم‌های غیرتکراری از ۰ تا ۹ برابر ۹×۹×۸ است. اگر بخواهیم عددهایی را حذف کنیم که رقم یکانشان صفر است، تعداد آن‌ها ۹×۸ است؛ زیرا صدگان ۹ انتخاب و دهگان ۸ انتخاب دارد. تفاضل این دو مقدار، تعداد عددهای سه‌رقمی را می‌دهد که یکانشان صفر نیست.

چک‌لیست حل سؤال

ابتدا تعداد جایگاه‌ها و مجموعه رقم‌های مجاز را بنویسید. سپس مشخص کنید آیا رقم اول می‌تواند صفر باشد یا نه. اگر تکرار ممنوع است، بعد از هر انتخاب تعداد گزینه‌ها را کم کنید. شرط‌های ویژه مانند زوج‌بودن، فردبودن یا قرارگرفتن صفر را با حالت‌بندی جدا کنید. در پایان، بزرگی پاسخ را بررسی کنید: پاسخ نباید از کل حالت‌های ممکن بیشتر شود و هر جایگاه باید دقیقاً یک‌بار شمارش شده باشد.

جمع‌بندی و تمرین خودسنجی

در مسائل عددسازی، اصل ضرب زمانی کاربرد دارد که انتخاب جایگاه‌ها پشت سر هم انجام شوند. صفر را برای جایگاه اول جداگانه بررسی کنید و در صورت وجود چند شرط، حالت‌ها را طوری تقسیم کنید که هم‌پوشانی نداشته باشند. تمرین ۱: چند عدد سه‌رقمی با رقم‌های متمایز از رقم‌های ۱ تا ۷ ساخته می‌شود؟ پاسخ: برای صدگان ۷، برای دهگان ۶ و برای یکان ۵ انتخاب داریم؛ بنابراین ۷×۶×۵=۲۱۰ عدد. تمرین ۲: چند عدد چهاررقمی بدون تکرار با رقم‌های ۰ تا ۵ ساخته می‌شود؟ پاسخ: جایگاه اول ۵ انتخاب دارد، جایگاه دوم ۵ انتخاب، جایگاه سوم ۴ و جایگاه چهارم ۳؛ پس ۵×۵×۴×۳=۳۰۰ عدد.

تمرین خودسنجی با پاسخ