تعداد جواب معادله خطی پارامتری؛ تشخیص حالت‌های صفر، یک و بی‌نهایت

پاسخ کوتاه

برای تعیین تعداد جواب معادله خطی پارامتری، ابتدا همه جمله‌های دارای مجهول را در یک طرف و عددها را در طرف دیگر قرار دهید؛ سپس ضریب مجهول را با صفر مقایسه کنید. اگر ضریب صفر نباشد، معمولاً یک جواب داریم؛ اگر ضریب و طرف ثابت هر دو صفر شوند، بی‌نهایت جواب داریم و اگر فقط ضریب صفر شود اما ثابت صفر نباشد، معادله ناسازگار است.

تعداد جواب معادله خطی پارامتری

معادله‌ای مانند (a-2)x=6 را در نظر بگیرید. اگر a-2≠0 باشد، با تقسیم دو طرف بر a-2 به x=6/(a-2) می‌رسیم؛ پس دقیقاً یک جواب وجود دارد. اگر a=2 باشد، سمت چپ صفر می‌شود و معادله به 0=6 تبدیل می‌شود که نادرست است؛ بنابراین در این حالت هیچ جوابی وجود ندارد.

سه حالت اصلی پس از ساده‌سازی

هر معادله خطی را می‌توان به شکل Ax=B رساند. اگر A≠0 باشد، یک جواب x=B/A داریم. اگر A=0 و B≠0 باشد، عبارت 0=B نادرست است و جواب ندارد. اگر A=0 و B=0 باشد، عبارت 0=0 برای هر مقدار x درست است و معادله بی‌نهایت جواب دارد.

روش مقایسه ضرایب

برای معادله (m+1)x+4=3x+2m، جمله‌های مجهول را یک طرف ببرید: (m-2)x=2m-4. اکنون ضریب مجهول A=m-2 و طرف دیگر B=2m-4 است. اگر m≠2، یک جواب داریم. برای m=2، هر دو مقدار A و B صفر می‌شوند و معادله به 0=0 تبدیل می‌شود؛ پس بی‌نهایت جواب خواهد داشت.

نکته مهم درباره تقسیم بر عبارت پارامتری

وقتی ضریبی مانند m-2 جلوی x قرار دارد، نباید بدون بررسی حالت m=2 بر آن تقسیم کنید. ابتدا حالت صفرشدن ضریب را جداگانه بنویسید و سپس برای m≠2 تقسیم کنید. این کار از حذف حالت بی‌نهایت جواب یا بی‌جواب جلوگیری می‌کند.

مثال محاسباتی کامل

معادله (k-3)x+5=2x+k را بررسی کنید. با انتقال جمله‌ها داریم (k-5)x=k-5. اگر k≠5، تقسیم بر k-5 نتیجه می‌دهد x=1؛ بنابراین یک جواب وجود دارد. اگر k=5، دو طرف معادله پس از ساده‌سازی صفر می‌شوند و به 0=0 می‌رسیم؛ پس همه عددهای حقیقی جواب‌اند و تعداد جواب بی‌نهایت است.

چک‌لیست حل سریع

۱) پرانتزها را باز کن و جمله‌های هم‌نوع را جمع کن. ۲) معادله را به Ax=B برسان. ۳) حالت A≠0 را بررسی کن. ۴) حالت A=0 را جدا بنویس. ۵) اگر B هم صفر بود، بی‌نهایت جواب و اگر B ناصفر بود، هیچ جواب ثبت کن. در پایان مقدار پارامتر ویژه را در معادله اصلی جایگذاری و کنترل کن.

جمع‌بندی و خودسنجی

در معادله پارامتری، صفرشدن ضریب مجهول نقطه حساس است. یک ضریب ناصفر یعنی یک جواب؛ ضریب صفر همراه با ثابت ناصفر یعنی بی‌جواب؛ و صفرشدن هم‌زمان هر دو یعنی بی‌نهایت جواب. هیچ پارامتری را پیش از بررسی این سه حالت حذف نکن.

تمرین خودسنجی با پاسخ