ریاضی کنکوریهمه مقالههاشمارش حالت‌های کنار هم در ترکیبیات؛ روش بلوک‌سازی در مسائل جایگشت
با روش بلوک‌سازی یاد بگیرید در مسائل جایگشت، حالت‌هایی را که چند شیء باید کنار هم باشند سریع و دقیق بشمارید.
پاسخ کوتاه
در شمارش حالت‌های کنار هم در ترکیبیات، چند شیء مجاور را مانند یک بلوک واحد در نظر می‌گیریم، سپس جای بلوک و ترتیب داخلی آن را جداگانه می‌شماریم. برای نمونه، اگر سه دانش‌آموز مشخص باید کنار هم در یک ردیف بنشینند، این سه نفر یک بلوک محسوب می‌شوند؛ در نتیجه به‌جای شش شیء، چهار واحد داریم و پاسخ برابر است با ۴! × ۳! = ۱۴۴ حالت. نکته اصلی این است که شرط «کنار هم بودن» را پیش از شروع شمارش به یک واحد تبدیل کنیم.
ایده اصلی بلوک‌سازی
هرگاه چند شیء باید بدون فاصله کنار هم قرار بگیرند، آن‌ها را یک بلوک فرض کن. اگر داخل بلوک نیز ترتیب مهم باشد، تعداد ترتیب‌های داخلی را جداگانه به دست آور و در تعداد چیدمان واحدها ضرب کن. این روش برای افراد، حروف یا اشیای متمایز کاربرد دارد.
شمارش حالت‌های کنار هم در ترکیبیات
فرض کن پنج کتاب متفاوت داریم و دو کتاب مشخص باید کنار هم باشند. دو کتاب مشخص یک بلوک می‌سازند؛ پس چهار واحد برای چیدن داریم: بلوک و سه کتاب دیگر. تعداد چیدمان واحدها ۴! است و دو کتاب داخل بلوک نیز ۲! ترتیب دارند. بنابراین پاسخ ۴! × ۲! = ۴۸ حالت است.
وقتی چند عضو باید با هم بمانند
اگر سه عضو مشخص باید پشت سر هم باشند، هر سه عضو یک بلوک‌اند. با وجود هفت شیء در کل، پس از ساخت بلوک، پنج واحد برای چیدن باقی می‌ماند؛ یعنی بلوک و چهار شیء دیگر. تعداد حالت‌ها ۵! × ۳! خواهد بود. ترتیب داخلی اعضای بلوک را هرگز حذف نکن، مگر آنکه ترتیب آن‌ها از قبل تعیین شده باشد.
تفاوت «کنار هم» و «کنار هم نبودن»
برای شرط «دو شیء کنار هم نباشند»، معمولاً از روش متمم استفاده می‌کنیم: همه حالت‌ها منهای حالت‌های کنار هم. اگر چهار نفر متفاوت در یک ردیف قرار گیرند، همه حالت‌ها ۴! است. حالت کنار هم بودن دو نفر مشخص برابر ۳! × ۲! است؛ پس حالت‌های غیرمجاور برابر ۴! − ۳! × ۲! = ۱۲ می‌شود.
چک‌لیست حل مسئله
۱) اشیای مجبور به مجاورت را مشخص کن. ۲) آن‌ها را یک بلوک بساز. ۳) تعداد واحدهای بیرون بلوک را بشمار. ۴) ترتیب واحدها را حساب کن. ۵) ترتیب داخلی بلوک را اضافه کن. ۶) اگر شرط «نبودن مجاورت» بود، روش متمم را بررسی کن. در پایان، کوچک بودن جواب یا شمردن یک نمونه ساده می‌تواند خطای فرمول را آشکار کند.
مثال ترکیبی با دو بلوک
شش نفر متفاوت باید در یک ردیف قرار گیرند؛ دو نفر اول باید کنار هم و دو نفر دیگر نیز کنار هم باشند. دو بلوک و دو نفر مستقل داریم، پس چهار واحد چیده می‌شود: ۴! حالت. داخل هر بلوک دو ترتیب وجود دارد؛ بنابراین پاسخ ۴! × ۲! × ۲! = ۹۶ حالت است. اگر دو بلوک نیز باید کنار هم باشند، ابتدا آن دو را یک بلوک بزرگ در نظر می‌گیریم و محاسبه تغییر می‌کند.
جمع‌بندی؛ کنترل پاسخ در مسائل جایگشت
بلوک‌سازی یعنی تبدیل یک شرط مجاورت به یک واحد شمارشی. پس از شمارش جای واحدها، باید ترتیب داخلی هر بلوک را ضرب کنیم. برای شرط «کنار هم نبودن» نیز ابتدا ببین آیا کم‌کردن حالت‌های مجاور از کل حالت‌ها ساده‌تر است. سه پرسش پایانی را بررسی کن: آیا همه اشیای متمایز شمرده شده‌اند؟ آیا ترتیب داخل بلوک لحاظ شده است؟ آیا شرط مسئله دقیقاً مجاورت را می‌خواهد یا فقط قرارگرفتن در یک گروه را؟
تمرین خودسنجی با پاسخ
تمرین ۱: پنج دانش‌آموز متفاوت در یک ردیف می‌نشینند و دو دانش‌آموز مشخص باید کنار هم باشند. چند حالت وجود دارد؟
پاسخ کامل: دو دانش‌آموز را یک بلوک می‌گیریم؛ بنابراین چهار واحد داریم و ۴! چیدمان ممکن است. داخل بلوک نیز ۲! ترتیب وجود دارد. پس تعداد حالت‌ها ۴! × ۲! = ۲۴ × ۲ = ۴۸ است.
تمرین ۲: چهار کتاب متفاوت را در یک قفسه می‌چینیم. دو کتاب مشخص نباید کنار هم باشند. چند حالت ممکن است؟
پاسخ کامل: کل چیدمان‌ها ۴! = ۲۴ حالت است. برای حالت‌های کنار هم، دو کتاب را یک بلوک می‌گیریم؛ سه واحد داریم و ۳! چیدمان واحدها، با ۲! ترتیب داخلی، به ۳! × ۲! = ۱۲ حالت می‌رسیم. بنابراین حالت‌های غیرمجاور برابر ۲۴ − ۱۲ = ۱۲ است.
چک‌لیست حل تست
- شرط مجاورت را پیش از اجرای فاکتوریل به بلوک تبدیل کن.
- ترتیب داخلی هر بلوک را جداگانه حساب کن.
- برای «کنار هم نبودن»، روش متمم را با دقت بررسی کن.
- اگر چند بلوک داری، ابتدا تعداد واحدهای مستقل را بشمار.