ریاضی کنکوریهمه مقالههاحل مسئله شمارش با اصل متمم؛ راهی سریع برای حذف حالت‌های ممنوع
آموزش حل مسئله‌های شمارشی با اصل متمم؛ از تعیین فضای حالت تا شمارش حالت‌های نامطلوب، همراه با مثال و تمرین خودسنجی.
پاسخ کوتاه
حل مسئله شمارش با اصل متمم زمانی مفید است که شمردن حالت‌های مطلوب دشوار باشد، اما حالت‌های نامطلوب را بتوان ساده‌تر شمرد. در این روش ابتدا همه حالت‌های ممکن را پیدا می‌کنیم، سپس تعداد حالت‌هایی را که شرط مسئله را ندارند از آن کم می‌کنیم.
اصل متمم چه می‌گوید؟
اگر مجموعه همه حالت‌ها را با U و حالت‌های مطلوب را با A نشان دهیم، حالت‌های نامطلوب مکمل A هستند. بنابراین تعداد حالت‌های مطلوب از رابطه N(A)=N(U)-N(Aᶜ) به دست می‌آید. نکته مهم این است که مکمل باید دقیقاً خلاف شرط مطلوب باشد؛ نه بخشی از آن و نه شرطی قوی‌تر.
حل مسئله شمارش با اصل متمم؛ از کجا شروع کنیم؟
ابتدا جمله «همه حالت‌ها» را دقیق تعریف کن؛ مثلاً همه عددهای سه‌رقمی، همه رمزهای چهاررقمی یا همه انتخاب‌های ممکن. سپس شرط مطلوب را به زبان ساده بنویس و خلاف آن را مشخص کن. اگر شرط مطلوب «دست‌کم یک بار رخ دهد» باشد، مکمل آن معمولاً «اصلاً رخ ندهد» است و شمارش آن ساده‌تر می‌شود.
تفاوت «دست‌کم یک» و «دقیقاً یک»
اصل متمم برای عبارت‌هایی مانند «دست‌کم یک» بسیار مناسب است. اما مکمل «دقیقاً یک» برابر «صفر یا حداقل دو» است و ممکن است خودش دشوار باشد. پس پیش از انتخاب روش، واژه‌های دست‌کم، حداکثر و دقیقاً را جدا کن. برای «حداکثر یک»، گاهی شمارش مستقیم حالت صفر و یک بهتر از متمم است.
مثال محاسباتی: عدد سه‌رقمی با دست‌کم یک رقم زوج
چند عدد سه‌رقمی داریم که دست‌کم یک رقم زوج داشته باشند؟ همه عددهای سه‌رقمی از 100 تا 999 هستند؛ پس 900 حالت داریم. مکمل شرط، عددهایی است که هر سه رقمشان فرد باشد. رقم صدگان فرد می‌تواند 1، 3، 5، 7 یا 9 باشد؛ برای هرکدام، رقم دهگان و یکان پنج انتخاب دارند. بنابراین حالت‌های مکمل 5×5×5=125 است. پاسخ برابر 900-125=775 عدد است.
کنترل دام‌های رایج
در شمارش عددهای سه‌رقمی، صفر نمی‌تواند رقم صدگان باشد؛ بنابراین نباید برای رقم اول همان انتخاب‌های دو رقم دیگر را به کار برد. همچنین اگر تکرار رقم ممنوع باشد، تعداد انتخاب‌ها در هر مرحله کاهش می‌یابد. یک راه کنترل این است که چند حالت کوچک را دستی فهرست کنی و ببینی تعریف فضای حالت با شرط مسئله سازگار است.
چک‌لیست عملی برای تست
۱) همه حالت‌ها را مشخص کن. ۲) کلمه شرط را به زبان دقیق تبدیل کن. ۳) مکمل را با جمله‌ای کامل بنویس. ۴) بررسی کن آیا صفر در جایگاه نخست مجاز است. ۵) محدودیت تکرار، ترتیب و انتخاب را کنترل کن. ۶) در پایان، عدد حالت‌های مطلوب را از کل کم کن و منطقی بودن اندازه پاسخ را بررسی کن.
جمع‌بندی و تمرین خودسنجی
اصل متمم یعنی شمارش کل منهای شمارش حالت‌های نامطلوب. این روش به‌خصوص برای شرط‌های «دست‌کم یک» و «حداقل یک» کارآمد است، اما فقط وقتی درست است که فضای حالت و مکمل آن دقیق تعریف شده باشند. در هر مسئله ترتیب، تکرار، صفر و نوع انتخاب را جداگانه بررسی کن.
تمرین خودسنجی با پاسخ
تمرین ۱: چند عدد چهاررقمی وجود دارد که دست‌کم یک رقم صفر داشته باشد؟
پاسخ: کل عددهای چهاررقمی 9×10×10×10=9000 عدد است. مکمل شرط، عددهای چهاررقمی بدون صفر است؛ رقم اول 9 انتخاب و هر یک از سه رقم بعدی 9 انتخاب دارند، پس 9×9×9×9=6561 حالت. بنابراین پاسخ 9000-6561=2439 عدد است.
تمرین ۲: از میان ارقام 1، 2، 3، 4 و 5، چند عدد سه‌رقمی با تکرار مجاز می‌توان ساخت که دست‌کم یک رقم 5 داشته باشد؟
پاسخ: کل حالت‌ها 5×5×5=125 است. حالت‌های بدون 5 فقط با ارقام 1 تا 4 ساخته می‌شوند و 4×4×4=64 حالت دارند. پس تعداد حالت‌های مطلوب 125-64=61 عدد است.
تمرین ۳: از بین 6 دانش‌آموز، چند روش برای انتخاب یک گروه سه‌نفره وجود دارد که دانش‌آموز مشخص A در گروه نباشد؟
پاسخ: کل انتخاب‌ها برابر ترکیب 6 از 3 یعنی 20 است. انتخاب‌هایی که A در آن‌ها حضور دارد، با انتخاب دو نفر از پنج نفر دیگر برابر با 10 است. بنابراین انتخاب‌های بدون A برابر 20-10=10 روش است؛ همین نتیجه مستقیماً از انتخاب سه نفر از پنج نفر دیگر نیز به دست می‌آید.
چک‌لیست حل تست
- مکمل شرط را با یک جمله فارسی کامل بنویس.
- برای عددها، جایگاه صدگان را جدا از دهگان و یکان بررسی کن.
- عبارت‌های «دست‌کم»، «حداکثر» و «دقیقاً» را با هم اشتباه نگیر.
- اگر شمارش مکمل از شمارش مستقیم پیچیده‌تر شد، روش دیگری را امتحان کن.