فاصله و نقطه میانی در هندسه تحلیلی؛ فرمول و کاربرد
آموزش فاصله دو نقطه، مختصات نقطه میانی، طول پارهخط و تشخیص شکلها در دستگاه مختصات.
پاسخ کوتاه
فرمول فاصله از قضیه فیثاغورس میآید و نقطه میانی از میانگین مختصات دو سر پارهخط. این دو ابزار ساده در تشخیص مثلث، متوازیالاضلاع، دایره و مکان هندسی بارها با هم ترکیب میشوند.
فاصله دو نقطه
برای A(x₁,y₁) و B(x₂,y₂)، طول AB برابر √[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²] است. ترتیب تفریق در مربع نتیجه را عوض نمیکند، اما مؤلفه x و y را نباید با هم جابهجا کرد.
نقطه میانی
مختصات وسط پارهخط میانگین مختصات متناظر دو سر است: M((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2). اگر یک سر و نقطه میانی داده شوند، با دو معادله ساده سر دیگر را پیدا کن.
تشخیص مثلث
با مقایسه مربع طول ضلعها میتوان بدون رادیکال نوع مثلث را سنجید. اگر بزرگترین مربع طول برابر مجموع دو مربع دیگر باشد، مثلث قائم است. برابری دو یا سه طول نیز متساویالساقین یا متساویالاضلاع بودن را نشان میدهد.
کاربرد در چهارضلعی
در متوازیالاضلاع قطرها یکدیگر را نصف میکنند. بنابراین اگر نقطه میانی دو قطر یکسان باشد، شرط مهمی برای متوازیالاضلاع داریم. برای مستطیل، برابری طول قطرها نیز قابل استفاده است.
مثال و تست کوتاه
برای A(1,2) و B(5,5)، اختلاف مختصات 4 و 3 است؛ پس فاصله 5 و نقطه میانی (3,3.5) خواهد بود. جایگذاری نقطه میانی نشان میدهد فاصله آن تا هر دو سر 2.5 است.
چکلیست حل تست
- برای مقایسه طولها از مربع فاصله استفاده کن.
- نقطه میانی میانگین هر دو مؤلفه است.
- در متوازیالاضلاع، قطرها نقطه میانی مشترک دارند.