فاصله نقطه از خط؛ فرمول، استدلال و کاربردهای کنکوری

پاسخ کوتاه

فاصله نقطه از خط کوتاه‌ترین طولی است که آن نقطه را به خط وصل می‌کند؛ بنابراین این فاصله روی پاره‌خطی قرار دارد که بر خط عمود است. در این درس یاد می‌گیریم چگونه بدون رسم دقیق، فاصله نقطه از خط را از روی مختصات محاسبه کنیم، چرا فرمول درست است و چگونه از آن برای یافتن مکان هندسی یا بررسی فاصله دو خط استفاده کنیم.

تعریف هندسی فاصله نقطه از خط

فرض کنید نقطه P بیرون خط l قرار دارد. از P بی‌نهایت پاره‌خط می‌توان به نقاط مختلف خط رسم کرد، اما کوتاه‌ترین آن‌ها پاره‌خطی است که بر l عمود باشد. اگر پای این عمود را H بنامیم، فاصله مورد نظر برابر PH است. هر پاره‌خط مورب مانند PA همراه با PH یک مثلث قائم می‌سازد و طبق قضیه فیثاغورس، PA²=PH²+AH²؛ چون AH² نامنفی است، PA همیشه از PH بزرگ‌تر یا مساوی است.

فاصله نقطه از خط

اگر خط به صورت ax+by+c=0 و نقطه P(x₀,y₀) باشد، فاصله برابر است با d=|ax₀+by₀+c|/√(a²+b²). صورت کسر، مقدار جایگذاری مختصات نقطه در عبارت خط است و قدرمطلق لازم است، زیرا فاصله نمی‌تواند منفی باشد. مخرج نیز طول بردار عمودی (a,b) بر خط است و مقیاس معادله خط را خنثی می‌کند؛ به همین دلیل اگر کل معادله خط را در عددی ناصفر ضرب کنیم، فاصله تغییر نمی‌کند.

چرا فرمول درست است؟

بردار نرمال خط ax+by+c=0 برابر n=(a,b) است. خطی که از نقطه P در راستای این بردار حرکت می‌کند، بر خط اصلی عمود است. فاصله بین P و خط را می‌توان به صورت اندازه تصویر بردار اتصال یک نقطه دلخواه از خط به P روی بردار واحد نرمال به دست آورد. بردار واحد نرمال n/√(a²+b²) است؛ بنابراین اندازه این تصویر برابر قدرمطلق یک حاصل‌ضرب داخلی تقسیم بر √(a²+b²) می‌شود و پس از ساده‌سازی همان فرمول بالا به دست می‌آید.

یافتن پای عمود با پارامترگذاری

گاهی فقط فاصله خواسته نمی‌شود و مختصات نزدیک‌ترین نقطه روی خط نیز لازم است. برای خط ax+by+c=0 و نقطه P(x₀,y₀)، نقطه پای عمود را به شکل H=(x₀-at,y₀-bt) در نظر بگیرید، چون بردار PH در راستای نرمال خط است. با جایگذاری H در معادله خط، t=(ax₀+by₀+c)/(a²+b²) به دست می‌آید. سپس مختصات H را محاسبه کنید. این روش علاوه بر یافتن پای عمود، در مسائل بازتاب نقطه نسبت به خط نیز کاربرد دارد.

مثال حل‌شده و کنترل پاسخ

فاصله نقطه P(2,-1) از خط 3x-4y+12=0 را می‌خواهیم. ابتدا صورت را محاسبه می‌کنیم: |3(2)-4(-1)+12|=|6+4+12|=22. مخرج برابر √(3²+(-4)²)=5 است؛ پس فاصله 22/5 می‌شود. برای کنترل، توجه کنید که ضریب‌های خط مثلث قائم با ضلع‌های 3 و 4 می‌سازند و طول بردار نرمال 5 است. اگر معادله خط را در 2 ضرب کنیم، صورت و مخرج هر دو 2 برابر می‌شوند و پاسخ همچنان 22/5 باقی می‌ماند.

جمع‌بندی؛ خطاهای رایج و راهبرد حل

ابتدا معادله خط را به فرم ax+by+c=0 تبدیل کن؛ سپس مختصات نقطه را جایگذاری، قدرمطلق را اعمال و در √(a²+b²) تقسیم کن. اشتباه رایج، استفاده از فرم y=mx+n بدون تبدیل مناسب، فراموش‌کردن قدرمطلق یا محاسبه نادرست مخرج است. اگر دو خط موازی به شکل ax+by+c₁=0 و ax+by+c₂=0 باشند، فاصله آن‌ها برابر |c₁-c₂|/√(a²+b²) است؛ البته باید ضرایب x و y در دو معادله یکسان باشند. در پایان، واحد فاصله و نامنفی‌بودن پاسخ را نیز بررسی کن.

تمرین خودسنجی با پاسخ