ریاضی کنکوریهمه مقالههاتشخیص دامنه از روی نمودار تابع؛ خواندن دقیق نقاط باز و بسته
راهنمای مرحله‌به‌مرحله خواندن دامنه از نمودار تابع با توجه به محور افقی، نقاط توپر و توخالی، شکست نمودار و بازه‌های پیوسته.
پاسخ کوتاه
برای تشخیص دامنه از روی نمودار تابع، فقط سایه یا خط نمودار را روی محور افقی دنبال کن: هر مقدار x که دست‌کم یک نقطه از نمودار بالای آن قرار گرفته باشد در دامنه است؛ نقطه توپر وارد بازه می‌شود و نقطه توخالی وارد نمی‌شود. در پایان، بازه‌ها را از چپ به راست مرتب و نقاط ممنوع را حذف کن.
تشخیص دامنه از روی نمودار تابع
دامنه مجموعه همه ورودی‌های ممکن، یعنی مقدارهای x، است. برای خواندن آن از شکل، نمودار را از نظر عمودی نگاه نکن؛ تصور کن خطی عمودی از هر x بالا می‌رود. اگر این خط نمودار را قطع کند یا به نقطه‌ای توپر برسد، آن x عضو دامنه است. اگر هیچ برخوردی نداشته باشد، آن مقدار در دامنه نیست.
نقطه توپر و نقطه توخالی
نقطه توپر یعنی مقدار تابع در همان x تعریف شده و آن x را با کروشه می‌نویسیم. نقطه توخالی یعنی آن نقطه حذف شده است؛ بنابراین کنار آن x پرانتز می‌گذاریم، مگر اینکه بخش دیگری از نمودار در همان x نقطه توپر داشته باشد. اگر هر دو نقطه دیده شوند، وجود نقطه توپر تعیین‌کننده ورود x به دامنه است.
بازه‌های پیوسته و جدا
هر قسمت متصل نمودار را جداگانه روی محور x تصویر کن. اگر نمودار از x=-3 تا x=2 ادامه داشته باشد و دو سر آن توپر باشند، بازه دامنه [-3,2] است. اگر در x=0 یک حفره وجود داشته باشد و نمودار دیگری آن مقدار را نپوشاند، دامنه به صورت [-3,0)∪(0,2] نوشته می‌شود. علامت ∪ یعنی هر دو بازه مجازند.
مثال محاسباتی با سه قطعه
فرض کن قطعه اول از نقطه توپر (−4,1) تا نقطه توخالی (−1,3) باشد، قطعه دوم از نقطه توپر (−1,0) تا نقطه توپر (2,2) ادامه پیدا کند و قطعه سوم فقط نقطه توخالی (5,4) باشد. قطعه اول بازه [−4,−1) می‌دهد، اما چون در x=−1 نقطه توپر قطعه دوم وجود دارد، این مقدار در دامنه قرار می‌گیرد. قطعه دوم بازه [−1,2] را می‌سازد. نقطه توخالی x=5 به‌تنهایی دامنه را گسترش نمی‌دهد؛ پس دامنه نهایی [−4,2] است.
چک‌لیست کنترل پاسخ
۱) محور مورد سؤال را با دامنه اشتباه نکن؛ دامنه روی محور x خوانده می‌شود. ۲) از چپ‌ترین تا راست‌ترین مقدار مجاز حرکت کن. ۳) برای هر سر بازه، توپر یا توخالی بودن را بررسی کن. ۴) حفره‌ها و خط‌های عمودیِ بدون برخورد را حذف کن. ۵) اگر چند نمودار یا چند قطعه وجود دارد، اجتماع تصویر افقی همه آن‌ها را بنویس. ۶) پاسخ را با نمادهای کروشه و پرانتز دقیق ثبت کن.
جمع‌بندی و تمرین خودسنجی
دامنه یعنی تصویر افقی نمودار روی محور x. نقطه توپر مرز را وارد می‌کند، نقطه توخالی آن را حذف می‌کند و وجود هر نقطه معتبر دیگری در همان x می‌تواند آن مقدار را به دامنه برگرداند. برای کنترل نهایی، همه خط‌های عمودی ممکن را در ذهن بررسی کن؛ هر خطی که نمودار را حداقل یک بار قطع کند، یک ورودی مجاز را نشان می‌دهد. برای مطالعه مرتبط، تفاوت دامنه و برد را نیز در مبحث تابع مرور کن.
تمرین خودسنجی با پاسخ
تمرین ۱|نمودار در بازه‌ای از x=−2 تا x=4 کشیده شده است؛ در x=−2 نقطه توخالی، در x=1 حفره و در x=4 نقطه توپر دارد. اگر در x=−2 بخش دیگری نقطه توپر نداشته باشد، دامنه را بنویس.
پاسخ کامل|چون −2 توخالی است، از بازه حذف می‌شود. مقدار 1 نیز به علت حفره حذف می‌شود و 4 با نقطه توپر وارد دامنه است. بنابراین دامنه (−2,1)∪(1,4] است.
تمرین ۲|قطعه‌ای از نمودار روی xهای [0,3] قرار دارد و قطعه‌ای دیگر روی xهای (5,7]؛ در x=5 نقطه توخالی دیده می‌شود و هیچ نمودار دیگری آنجا نیست. دامنه چیست؟
پاسخ کامل|قطعه اول بازه [0,3] را می‌دهد. قطعه دوم از 5 شروع می‌شود اما 5 توخالی است و تا 7 با سر توپر ادامه دارد، پس (5,7] خواهد بود. دامنه نهایی [0,3]∪(5,7] است.
چک‌لیست حل تست
- دامنه را از تصویر افقی نمودار بخوان، نه از ارتفاع آن.
- در یک x مشترک، نقطه توپر بر نقطه توخالی مقدم است.
- بازه‌های جدا را با علامت اجتماع به هم وصل کن.
- پیش از نهایی‌کردن پاسخ، دو سر هر بازه و حفره‌های داخلی را بررسی کن.