تعیین دامنه تابع کسری؛ روش سریع بررسی مخرج و رادیکال

پاسخ کوتاه

برای تعیین دامنه تابع کسری، کافی است همه شرط‌های تعریف تابع را پیدا کنیم: مخرج نباید صفر شود و اگر در صورت یا مخرج رادیکال زوج داریم، عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد. سپس شرط‌ها را هم‌زمان روی محور اعداد اعمال می‌کنیم و نقاط ممنوع را از پاسخ حذف می‌کنیم.

تعیین دامنه تابع کسری

در ساده‌ترین حالت، تابع f(x)=1/(x-3) برای همه عددهای حقیقی به‌جز x=3 تعریف شده است؛ چون مخرج در x=3 صفر می‌شود. بنابراین دامنه آن R−{3} یا به صورت بازه‌ای (-∞,3)∪(3,+∞) است. نکته مهم این است که دامنه را از عبارت اصلی بررسی کنیم، نه فقط از شکل ساده‌شده آن.

قانون اصلی مخرج

هرگاه تابع به صورت کسر نوشته شود، مخرج باید ناصفر باشد. برای نمونه، در f(x)=(x+2)/(x²−4)، شرط x²−4≠0 است. با تجزیه داریم (x−2)(x+2)≠0؛ پس x≠2 و x≠−2. حتی اگر کسر برای x≠±2 ساده شود و به 1/(x−2) برسد، نقطه x=−2 از دامنه تابع اولیه حذف می‌ماند؛ چون عبارت اولیه در آن نقطه تعریف نشده بود.

رادیکال در تابع کسری

اگر رادیکال زوج در صورت باشد، عبارت زیر رادیکال باید بزرگ‌تر یا مساوی صفر باشد. اگر رادیکال زوج در مخرج باشد، این عبارت باید بزرگ‌تر از صفر باشد؛ زیرا هم منفی‌نبودن لازم است و هم خود مخرج نباید صفر شود. مثلاً برای g(x)=1/√(x−1)، شرط x−1>0 است و دامنه (1,+∞) می‌شود. اما برای h(x)=√(x−1)/(x−4)، دو شرط x≥1 و x≠4 داریم؛ بنابراین دامنه [1,4)∪(4,+∞) است.

حل نمونه ترکیبی

دامنه تابع p(x)=√(2x+4)/(x²−x−6) را پیدا می‌کنیم. شرط رادیکال 2x+4≥0 است، پس x≥−2. مخرج را تجزیه می‌کنیم: x²−x−6=(x−3)(x+2)، بنابراین x≠3 و x≠−2. اشتراک شرط‌ها از −2 به بعد است، اما −2 به علت صفر شدن مخرج حذف می‌شود. پاسخ نهایی (-2,3)∪(3,+∞) است.

روش محور اعداد و خطاهای رایج

ابتدا همه نقاط مرزی را پیدا کن: ریشه‌های عبارت زیر رادیکال و ریشه‌های مخرج. سپس نوع هر نقطه را مشخص کن. ریشه رادیکالِ صورت در شرط ≥ می‌تواند وارد دامنه شود، اما ریشه مخرج هرگز وارد نمی‌شود. در نامعادله‌های حاصل از چند عامل، جدول علامت بساز و فقط بازه‌هایی را نگه دار که تمام شرط‌ها در آن‌ها برقرارند. ساده‌کردن کسر پیش از ثبت نقاط ممنوع یکی از خطاهای پرتکرار است.

جمع‌بندی: چک‌لیست حل دامنه

برای حل هر سؤال، اول مخرج‌ها را ناصفر قرار بده؛ دوم، زیررادیکال‌های زوج را بررسی کن؛ سوم، شرط‌ها را با اشتراک بازه‌ها ترکیب کن؛ چهارم، نقاط صفر مخرج را حتی پس از ساده‌سازی حذف کن. در پایان، یک مقدار آزمایشی از هر بازه انتخاب کن تا مطمئن شوی همه شرط‌ها هم‌زمان برقرارند. اگر تابع چند ضابطه‌ای است، دامنه هر ضابطه و نقطه مرزی را جداگانه کنترل کن.

تمرین‌های خودسنجی با پاسخ کامل

تمرین ۱: دامنه f(x)=1/(x²−5x+6) را بیابید. پاسخ: مخرج را تجزیه می‌کنیم: x²−5x+6=(x−2)(x−3). بنابراین x نباید ۲ یا ۳ باشد. دامنه برابر (-∞,2)∪(2,3)∪(3,+∞) است. تمرین ۲: دامنه g(x)=√(x+1)/(x−2) را تعیین کنید. پاسخ: شرط رادیکال x+1≥0، یعنی x≥−1، است. همچنین x−2≠0، پس x≠2. با ترکیب دو شرط، دامنه [-1,2)∪(2,+∞) به دست می‌آید. تمرین ۳: دامنه h(x)=1/√(3−x) را پیدا کنید. پاسخ: چون رادیکال در مخرج است، باید 3−x>0 باشد؛ بنابراین x<3 و دامنه (-∞,3) است. نقطه ۳ هم به علت صفر شدن رادیکال و مخرج حذف می‌شود.

تمرین خودسنجی با پاسخ