امید ریاضی متغیر تصادفی؛ جدول احتمال و بازی منصفانه
آموزش محاسبه امید ریاضی از جدول توزیع، خطیبودن امید و تحلیل سود مورد انتظار در تستهای احتمال.
پاسخ کوتاه
امید ریاضی میانگین بلندمدت مقدارهای یک متغیر تصادفی است، نه نتیجه قطعی یک بار آزمایش. برای متغیر گسسته، هر مقدار در احتمال وقوعش ضرب و حاصلها جمع میشوند؛ جدول احتمال باید پیش از محاسبه کامل و مجموع احتمالهایش برابر یک باشد.
جدول توزیع
متغیر تصادفی X به هر نتیجه عددی نسبت میدهد. در جدول توزیع، احتمالها نامنفی و مجموع آنها یک است. اگر یک احتمال مجهول باشد، ابتدا با همین شرط آن را پیدا کن و سپس سراغ امید برو.
فرمول امید
برای مقدارهای xi با احتمال pi داریم E(X)=Σxi pi. مقدار امید ممکن است اصلاً یکی از خروجیهای ممکن نباشد؛ مثلاً امید تاس سالم 3.5 است، در حالی که هیچ پرتابی عدد 3.5 نشان نمیدهد.
خطیبودن امید
برای ثابتهای a و b داریم E(aX+b)=aE(X)+b. همچنین E(X+Y)=E(X)+E(Y) حتی بدون استقلال برقرار است؛ استقلال زمانی اهمیت پیدا میکند که بخواهیم امید حاصلضرب را به حاصلضرب امیدها تبدیل کنیم.
سود خالص
در مسئله بازی، X را سود خالص تعریف کن: جایزه دریافتی منهای هزینه ورود. بازی از نظر میانگین منصفانه است اگر امید سود خالص صفر باشد؛ امید مثبت به نفع بازیکن و امید منفی به نفع برگزارکننده است.
مثال حلشده
اگر با احتمال 1/4 مبلغ 12 واحد ببریم و در غیر این صورت 2 واحد ببازیم، امید سود برابر 12×1/4+(-2)×3/4=3-1.5=1.5 است. بنابراین میانگین سود هر دور مثبت است، نه اینکه هر دور حتماً سود بدهد.
کنترل پاسخ
احتمالها را با مقدارهای متناظر جفت کن و با درصد یا کسر به شکل یکسان حساب کن. امید یک متغیر کراندار باید بین کمترین و بیشترین مقدار ممکن آن باشد؛ خروج از این بازه نشانه خطای محاسباتی است.
چکلیست حل تست
- مجموع احتمالهای جدول باید یک باشد.
- امید میتواند مقداری ناممکن در یک آزمایش باشد.
- در بازیها جایزه را با سود خالص اشتباه نگیر.