ریاضی کنکوریهمه مقالههایافتن مرکز دایره از معادله گسترده؛ تکمیل مربع با مثال
در این درس یاد می‌گیرید چگونه از معادله گسترده دایره، مرکز و شعاع را با تکمیل مربع به‌دست آورید و جواب خود را کنترل کنید.
پاسخ کوتاه
برای یافتن مرکز دایره از معادله گسترده، جمله‌های مربوط به x و y را جدا کنید، ضریب هر متغیر را به نصف برسانید و مربع آن را به دو طرف معادله اضافه کنید. نتیجه باید به فرم استاندارد دایره، یعنی (x-a)²+(y-b)²=r²، برسد؛ در این فرم مرکز (a,b) و شعاع r است.
فرم استاندارد دایره چیست؟
معادله استاندارد دایره به صورت (x-a)²+(y-b)²=r² نوشته می‌شود. بنابراین مرکز دایره نقطه (a,b) و شعاع برابر ریشه دوم r² است. دقت کنید علامت داخل پرانتز برعکس مختصات مرکز دیده می‌شود؛ مثلاً (x-3)² نشان می‌دهد مؤلفه افقی مرکز 3 است، اما (x+3)² مرکز را در x=-3 قرار می‌دهد.
یافتن مرکز دایره از معادله گسترده
در معادله x²+y²+Dx+Ey+F=0، ضریب x و y را به‌ترتیب نصف کنید و مربع آن‌ها را بسازید. سپس عبارت‌ها را به شکل (x+D/2)² و (y+E/2)² کامل کنید. برای ثابت ماندن تساوی، همان مقدارهایی را که به سمت چپ اضافه کرده‌اید به سمت راست نیز منتقل کنید.
روش تکمیل مربع برای x و y
برای عبارت x²+6x، عدد 3 را که نصف ضریب x است در نظر بگیرید؛ با افزودن 9، عبارت به (x+3)² تبدیل می‌شود. به همین شکل y²-4y با افزودن 4 به (y-2)² تبدیل می‌شود. این دو تبدیل را جداگانه انجام دهید تا اشتباه علامت یا عدد کمتر شود.
مثال محاسباتی کامل
معادله x²+y²-6x+8y-11=0 را در نظر بگیرید. جمله‌های متغیر را گروه‌بندی می‌کنیم: (x²-6x)+(y²+8y)=11. برای x عدد 3 و مربع آن 9 است؛ برای y عدد 4 و مربع آن 16 است. پس با افزودن این دو مقدار به دو طرف داریم (x-3)²+(y+4)²=36. بنابراین مرکز (3,-4) و شعاع 6 است.
کنترل سریع جواب
پس از به‌دست‌آوردن مرکز و شعاع، معادله را باز کنید. در مثال قبل، (x-3)²+(y+4)²=36 به x²+y²-6x+8y+9+16=36 تبدیل می‌شود و با انتقال ثابت‌ها همان معادله اولیه به دست می‌آید. همچنین می‌توانید یک نقطه ساده روی دایره را آزمایش کنید؛ اگر x=3 باشد، y+4 برابر 6 یا -6 می‌شود و نقاط (3,2) و (3,-10) روی دایره قرار می‌گیرند.
خطاهای رایج در حل سؤال
اول، علامت مرکز را با علامت داخل پرانتز اشتباه نکنید. دوم، عدد تکمیل مربع را فقط به یک طرف تساوی اضافه نکنید. سوم، اگر ضریب x² و y² برابر نباشد، معادله لزوماً دایره به فرم مستقیم نیست و پیش از تکمیل مربع باید ضریب مشترک را جدا کنید. در پایان نیز شعاع را از مقدار سمت راست با جذرگیری به دست آورید.
جمع‌بندی: از معادله تا مرکز و شعاع
برای تبدیل معادله گسترده، جمله‌های هم‌نوع را گروه‌بندی، نصف ضریب‌های خطی را مربع، و همان مقدارها را در دو طرف تساوی اضافه کنید. فرم نهایی را با (x-a)²+(y-b)²=r² مقایسه کنید. مرکز (a,b)، شعاع r و شرط دایره واقعی r²>0 است. بازکردن دوباره فرم نهایی بهترین کنترل محاسباتی است.
تمرین خودسنجی با پاسخ
تمرین ۱: مرکز و شعاع دایره x²+y²+4x-10y+13=0 را بیابید.
با انتقال ثابت داریم (x²+4x)+(y²-10y)=-13. برای x عدد 2 و مربع آن 4، و برای y عدد 5 و مربع آن 25 است. پس (x+2)²+(y-5)²=-13+4+25=16. مرکز (-2,5) و شعاع 4 است.
تمرین ۲: آیا معادله x²+y²-2x+6y+14=0 یک دایره واقعی است؟
گروه‌بندی می‌کنیم: (x²-2x)+(y²+6y)=-14. با افزودن 1 و 9، داریم (x-1)²+(y+3)²=-4. چون مربع فاصله نمی‌تواند برابر عدد منفی باشد، این معادله دایره واقعی ندارد.
تمرین ۳: معادله دایره‌ای را بنویسید که مرکز آن (-3,2) و شعاع آن 5 باشد.
در فرم استاندارد، جای‌گذاری مرکز و شعاع می‌دهد (x+3)²+(y-2)²=25. اگر فرم گسترده لازم باشد، با بسط عبارت‌ها به x²+y²+6x-4y-12=0 می‌رسیم.
چک‌لیست حل تست
- علامت مختصات مرکز در پرانتز برعکس دیده می‌شود.
- عدد تکمیل مربع را به هر دو طرف معادله اضافه کنید.
- اگر سمت راست منفی شد، معادله دایره حقیقی ندارد.
- بعد از تبدیل، فرم استاندارد را دوباره بسط دهید.
- برای اطمینان، فاصله یک نقطه ساده از مرکز را بررسی کنید.