پیدا کردن نقطه تقاطع دو نمودار از روی جدول مقدارها؛ روش دقیق و سریع

پاسخ کوتاه

برای پیدا کردن نقطه تقاطع دو نمودار از روی جدول مقدارها، باید xهایی را پیدا کنید که در آن‌ها مقدار دو تابع برابر است. سپس همان x و مقدار مشترک y را به شکل یک نقطه مرتب مانند (x,y) بنویسید. اگر مقدارهای دو تابع در هیچ x مشترک برابر نباشند، در محدوده جدول نقطه تقاطعی دیده نمی‌شود.

ایده اصلی تقاطع دو نمودار

اگر نمودارهای y=f(x) و y=g(x) در نقطه‌ای یکدیگر را قطع کنند، مختصات آن نقطه باید هم‌زمان روی هر دو نمودار باشد. بنابراین در همان x داریم f(x)=g(x). جدول مقدارها این مقایسه را ساده می‌کند: ستون‌های دو تابع را در هر ردیف روبه‌روی هم بخوان و هرجا دو مقدار برابر شد، نقطه تقاطع را بساز.

پیدا کردن نقطه تقاطع دو نمودار از روی جدول مقدارها

فرض کنید در جدولی برای xهای ۱، ۲، ۳ و ۴، مقدارهای تابع اول به‌ترتیب ۲، ۵، ۷ و ۱۰ و مقدارهای تابع دوم ۶، ۵، ۴ و ۱۰ باشند. در x=۲ هر دو تابع مقدار ۵ دارند، پس یکی از نقاط تقاطع (۲،۵) است. در x=۴ نیز مقدار هر دو تابع ۱۰ است، بنابراین نقطه دوم (۴،۱۰) خواهد بود.

تفاوت برابر شدن مقدارها با برابر شدن x

در جدول معمولاً xهای مشترک به‌صورت ردیف‌های یکسان نوشته می‌شوند. صرفاً مشترک بودن x به معنی تقاطع نیست؛ چون ممکن است دو تابع در آن x مقدارهای متفاوت داشته باشند. برای نمونه، اگر در x=۳ یکی از تابع‌ها مقدار ۸ و دیگری مقدار ۱ داشته باشد، دو نقطه جدا روی یک خط عمودی داریم، نه نقطه تقاطع.

وقتی جدول فقط بخشی از نمودار را نشان می‌دهد

اگر دو مقدار در هیچ ردیفی برابر نباشند، فقط می‌توان گفت در xهای موجود در جدول تقاطعی ثبت نشده است. ممکن است نمودارها بین دو x متوالی همدیگر را قطع کنند، به‌ویژه اگر مقدار اختلاف دو تابع از مثبت به منفی یا برعکس تغییر کند. برای نتیجه‌گیری قطعی درباره کل نمودار، باید ضابطه یا اطلاعات پیوستگی و تغییرات بین ردیف‌ها را نیز داشته باشیم.

مثال محاسباتی و کنترل پاسخ

جدول زیر را در نظر بگیرید: در x=۰، مقدارهای دو تابع ۳ و ۱؛ در x=۱، مقدارهای ۴ و ۶؛ در x=۲، مقدارهای ۷ و ۷؛ و در x=۳، مقدارهای ۹ و ۵ هستند. فقط در ردیف x=۲ دو مقدار برابرند، پس نقطه تقاطع ثبت‌شده (۲،۷) است. برای کنترل، این نقطه را در هر دو رابطه جای‌گذاری می‌کنیم و باید هر دو مقدار y برابر ۷ شوند.

خطاهای رایج در خواندن جدول

اول، جای x و y را عوض نکنید؛ عدد ردیف یا ستون x مؤلفه اول نقطه است. دوم، برابر بودن مقدار دو تابع را با برابر بودن دو جدول اشتباه نگیرید. سوم، اگر چند ردیف مقدارهای برابر دارند، همه نقاط را بنویسید. چهارم، درباره نبودن تقاطع خارج از محدوده جدول ادعای قطعی نکنید، مگر اطلاعات کافی درباره نمودار داشته باشید.

جمع‌بندی: تقاطع دو تابع از جدول

برای حل این نوع سؤال، ردیف‌ها را یکی‌یکی مقایسه کنید، xهایی را که در آن‌ها f(x)=g(x) است جدا کنید و مقدار مشترک را به‌عنوان y بنویسید. هر ردیف برابر یک نقطه تقاطع می‌سازد. در پایان، پاسخ را با جای‌گذاری در هر دو تابع یا با بررسی نمودار کنترل کنید. اگر برابری در جدول دیده نشد، نتیجه را فقط به محدوده داده‌شده محدود نگه دارید.

تمرین خودسنجی با پاسخ