احتمال هندسی؛ نسبت طول، مساحت و ناحیه مطلوب
آموزش تبدیل انتخاب یکنواخت به نسبت اندازهها و رسم ناحیه مطلوب در مسائل طول، زمان و صفحه مختصات.
پاسخ کوتاه
در احتمال هندسی، فضای نمونه پیوسته است و احتمال از نسبت اندازه ناحیه مطلوب به کل ناحیه به دست میآید. این اندازه میتواند طول، مساحت یا حجم باشد؛ شرط اصلی آن است که انتخاب روی فضای مورد نظر یکنواخت باشد.
اصل نسبت اندازهها
اگر نقطه بهطور یکنواخت از ناحیه S انتخاب شود و رویداد مطلوب A زیرناحیه آن باشد، P(A)=اندازه A/اندازه S. صورت و مخرج باید از یک نوع اندازه و یک واحد باشند؛ طول را نمیتوان بر مساحت تقسیم کرد.
انتخاب روی پارهخط
برای انتخاب یکنواخت عدد x از بازه [a,b]، احتمال قرارگرفتن در مجموعهای از زیربازهها برابر مجموع طول آنها تقسیم بر b-a است. نقاط منفرد طول صفر دارند و در مدل پیوسته احتمالشان صفر است.
دو متغیر و صفحه
اگر x و y مستقل و یکنواخت از بازهها انتخاب شوند، هر زوج مرتب نقطهای در مستطیل فضای نمونه است. نامعادلههای رویداد مطلوب را رسم کن و مساحت بخش مشترک را بر مساحت کل مستطیل تقسیم کن.
مسئله زمان انتظار
زمان ورود در یک بازه را میتوان روی محور یا صفحه نمایش داد. برای دو زمان ورود x و y، شرط اختلاف کمتر از d به صورت |x-y|≤d نواری پیرامون خط y=x میسازد؛ مکمل آن اغلب دو مثلث ساده است.
مثال حلشده
عددی بهطور یکنواخت از [0,10] انتخاب میشود. احتمال اینکه فاصله آن از 6 کمتر از 2 باشد، شرط 4<x<8 را میسازد؛ طول ناحیه مطلوب 4 و طول کل 10 است، پس احتمال 2/5 میشود.
دامهای تستی
یکنواختبودن انتخاب را از متن بررسی کن؛ بدون آن نسبت هندسی معتبر نیست. مرز باز یا بسته در ناحیه پیوسته اندازه را تغییر نمیدهد، اما در فضای گسسته شمارش نقاط مرزی میتواند نتیجه را عوض کند.
چکلیست حل تست
- صورت و مخرج باید یک نوع اندازه داشته باشند.
- برای دو متغیر، فضای نمونه را روی صفحه رسم کن.
- مرزهای منفرد در مدل پیوسته احتمال صفر دارند.