قضیه ارتفاع مثلث قائم؛ سه رابطه مهم برای حل مسئله

پاسخ کوتاه

در بسیاری از مسائل مثلث قائم‌الزاویه، رسم ارتفاع از رأس قائمه به وتر، یک شکل ساده را به دو مثلث کوچک‌تر و مشابه تبدیل می‌کند. قضیه ارتفاع مثلث قائم به کمک همین تشابه، رابطه‌هایی می‌سازد که محاسبه طول‌ها را سریع و قابل‌اعتماد می‌کنند.

صورت شکل و نام‌گذاری دقیق

مثلث قائم‌الزاویه ABC را در نظر بگیرید که زاویه قائم آن در A است. از A بر وتر BC عمود رسم می‌کنیم و پای عمود را D می‌نامیم. بنابراین AD ارتفاع وارد بر وتر است و وتر به دو پاره‌خط BD و DC تقسیم می‌شود. برای جلوگیری از اشتباه، پیش از نوشتن هر رابطه مشخص کنید کدام ضلع، وتر و کدام پاره‌خط، تصویر ضلع مورد نظر روی وتر است.

قضیه ارتفاع مثلث قائم و رابطه اصلی

از تشابه دو مثلث کوچک و تشابه آن‌ها با مثلث بزرگ نتیجه می‌شود: AD²=BD×DC. پس طول ارتفاع برابر ریشه دوم حاصل‌ضرب دو قطعه وتر است: AD=√(BD×DC). این رابطه زمانی بسیار مفید است که دو بخش وتر معلوم باشند. مثلاً اگر BD=4 و DC=9 باشد، AD²=36 و در نتیجه AD=6؛ طول منفی برای یک پاره‌خط پذیرفتنی نیست، پس ریشه مثبت را انتخاب می‌کنیم.

رابطه هر ضلع قائم با تصویرش روی وتر

دو رابطه دیگر نیز از همان تشابه به دست می‌آیند: AB²=BC×BD و AC²=BC×DC. در هرکدام، مربع یک ضلع قائم برابر است با حاصل‌ضرب کل وتر در تصویر همان ضلع روی وتر. اگر ضلع AB روبه‌روی قطعه DC باشد، نباید BD و DC را جابه‌جا کنیم. بهترین روش این است که ابتدا پای عمود را روی شکل پیدا و سپس رابطه را از روی متناظر بودن ضلع‌ها بنویسیم.

رابطه فیثاغورس و کنترل محاسبه

رابطه‌های تشابه جایگزین فیثاغورس نیستند، بلکه اطلاعات دقیق‌تری در اختیارمان می‌گذارند. چون BC=BD+DC، داریم AB²+AC²=BC×BD+BC×DC=BC(BD+DC)=BC²؛ بنابراین قضیه فیثاغورس دوباره به دست می‌آید. این استدلال یک کنترل مناسب است: اگر دو ضلع قائم را از رابطه‌های تصویری محاسبه کردید، باید در پایان در رابطه AB²+AC²=BC² صدق کنند.

راهبرد حل سؤال‌های ترکیبی

در سؤال‌های ترکیبی، ابتدا داده‌های مربوط به وتر را جمع کنید؛ سپس از AD²=BD×DC برای یافتن ارتفاع استفاده کنید. اگر یک ضلع قائم خواسته شده، از مربع آن ضلع و تصویر متناظرش کمک بگیرید. در صورت معلوم بودن ارتفاع و یک قطعه وتر، قطعه دیگر از رابطه AD²=BD×DC به دست می‌آید. پس از هر مرحله واحد طول را ثابت نگه دارید و فقط در پایان، در صورت نیاز، تقریب عددی بزنید.

خطاهای رایج و نکته‌های مفهومی

ارتفاع AD همیشه بر وتر عمود است و لزوماً نیمساز زاویه A نیست. همچنین ارتفاع از رأس قائمه به وتر، داخل مثلث قرار می‌گیرد؛ بنابراین دو قطعه BD و DC مثبت‌اند. اشتباه رایج دیگر این است که در رابطه ضلع قائم، به‌جای کل وتر از یکی از قطعه‌های وتر استفاده شود. عبارت درست همیشه شامل BC، یعنی کل وتر، است. اگر دو قطعه وتر برابر باشند، ارتفاع برابر همان قطعه‌هاست؛ زیرا AD²=BD².

جمع‌بندی و تمرین‌های خودسنجی

با رسم عمود از رأس قائمه بر وتر، سه رابطه کلیدی داریم: AD²=BD×DC، AB²=BC×BD و AC²=BC×DC. نخستین رابطه برای ارتفاع و دو قطعه وتر، و دو رابطه بعدی برای ضلع‌های قائم کاربرد دارند. تشابه مثلث‌ها دلیل اصلی این فرمول‌هاست و فیثاغورس می‌تواند نتیجه را کنترل کند. تمرین ۱: اگر دو قطعه وتر به‌ترتیب 5 و 20 باشند، ارتفاع وارد بر وتر را بیابید. پاسخ: AD²=5×20=100، پس AD=10. تمرین ۲: در مثلثی با BC=25 و BD=9، طول AB را حساب کنید. پاسخ: AB²=25×9=225، بنابراین AB=15. تمرین ۳: اگر AD=12 و BD=9 باشد، DC را پیدا کنید. پاسخ: از 144=9×DC نتیجه می‌شود DC=16؛ بنابراین BC=25.

تمرین خودسنجی با پاسخ