تشخیص تابع ثابت از جدول و نمودار؛ روش سریع با مثال

پاسخ کوتاه

برای تشخیص تابع ثابت از جدول و نمودار کافی است بررسی کنید آیا خروجی تابع برای همه ورودی‌های مجاز یکسان می‌ماند یا نه. در این حالت ضابطه معمولاً به شکل f(x)=c است، نمودار خطی افقی و برد تابع فقط شامل عدد c خواهد بود.

تشخیص تابع ثابت از جدول و نمودار

در جدول، اگر چند مقدار متفاوت برای x به یک مقدار یکسان برای f(x) برسند، تابع ثابت است؛ مثلاً جدول xهای ۱، ۳ و ۵ با خروجی مشترک ۴ نشان می‌دهد f(x)=۴. در نمودار نیز باید خطی افقی موازی محور x ببینیم. اگر نمودار حتی کمی شیب داشته باشد، تابع ثابت نیست.

تشخیص از روی ضابطه

در ضابطه f(x)=۷، خروجی مستقل از x است؛ بنابراین هر ورودی مجاز، عدد ۷ را تولید می‌کند. اما در f(x)=۲x+۷، خروجی با تغییر x عوض می‌شود و تابع ثابت نیست. توجه کنید ضابطه‌ای مانند f(x)=x-x+۳ پس از ساده‌سازی برابر ۳ است و تابعی ثابت می‌سازد.

دامنه و برد تابع ثابت

اگر دامنه تابع مجموعه‌ای مانند {۱،۲،۵} باشد و برای همه این ورودی‌ها خروجی ۶ تولید شود، برد فقط {۶} است. اگر دامنه همه اعداد حقیقی باشد، باز هم برد یک عضو دارد: {۶}. پس دامنه ممکن است بزرگ یا محدود باشد، اما برد تابع ثابت، تا وقتی تابع تعریف شده باشد، فقط یک مقدار دارد.

مثال محاسباتی و کنترل پاسخ

فرض کنید f(x)=a و جدول تابع برای xهای صفر، دو و منفی سه به‌ترتیب مقدارهای ۵، ۵ و ۵ را نشان می‌دهد. پس a=۵ و برد تابع {۵} است. اگر در سؤال نقطه‌های نمودار (۱،۴)، (۳،۴) و (۶،۴) داده شوند، همه روی خط y=۴ قرار دارند. بنابراین نمودار افقی است و مقدار تابع در هر سه نقطه برابر ۴ می‌ماند.

خطاهای رایج در تست

یک خط افقی همیشه به معنی تابع ثابت روی همه اعداد حقیقی نیست؛ ممکن است فقط بخشی از نمودار یا دامنه محدود داده شده باشد. همچنین نباید «تابع بودن» را با «ثابت بودن» یکی بدانید: تابع ثابت همچنان برای هر ورودی مجاز دقیقاً یک خروجی دارد، اما خروجی‌های آن تغییر نمی‌کنند. برای کنترل نهایی، دو ورودی متفاوت انتخاب و خروجی‌هایشان را مقایسه کنید.

جمع‌بندی و چک‌لیست

اگر خروجی همه ورودی‌های مجاز برابر باشد، تابع ثابت است. در ضابطه، وابستگی به x پس از ساده‌سازی حذف می‌شود؛ در جدول، ستون خروجی تکراری است؛ و در نمودار، شکل خط افقی دیده می‌شود. برای پاسخ کامل، دامنه را از داده سؤال و برد را از مقدار ثابت بنویسید.

تمرین‌های خودسنجی

تمرین ۱: آیا تابع f(x)=۳x-۳x+۸ ثابت است؟ پاسخ: بله. با ساده‌سازی، f(x)=۸ به دست می‌آید؛ پس برای هر x خروجی ۸ است و برد {۸} خواهد بود. تمرین ۲: جدول زیر داده شده است: xهای ۱، ۲ و ۴ و خروجی‌های ۶، ۷ و ۶. آیا تابع ثابت است؟ پاسخ: خیر. چون خروجی ورودی دوم ۷ است و با دو خروجی دیگر برابر نیست. تمرین ۳: نمودار خط y=-۲ در بازه -۱≤x≤۵ داده شده است. دامنه و برد را بنویسید. پاسخ: دامنه [-۱،۵] و برد {-۲} است، زیرا مقدار y در تمام این بازه ثابت می‌ماند.

تمرین خودسنجی با پاسخ