اصل شمول و عدمشمول؛ شمارش بدون دوبارهشماری
آموزش شمارش اجتماع دو و سه مجموعه، اصلاح همپوشانیها و حل تستهای شمول و عدمشمول کنکور.
پاسخ کوتاه
وقتی اعضای چند گروه با هم همپوشانی دارند، جمع ساده تعداد گروهها بعضی اعضا را بیش از یک بار میشمارد. اصل شمول و عدمشمول با کمکردن و دوباره افزودن اشتراکها، تعداد دقیق اجتماع را به دست میدهد.
دو مجموعه
برای دو مجموعه A و B داریم |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|. اشتراک یک بار در A و یک بار در B شمرده شده، پس یک بار کم میشود. اگر مجموعهها جدا باشند، اشتراک صفر و رابطه به جمع ساده تبدیل میشود.
سه مجموعه
برای سه مجموعه، ابتدا اندازه هر سه را جمع میکنیم، سپس سه اشتراک دوتایی را کم و در پایان اشتراک سهتایی را یک بار اضافه میکنیم. اشتراک سهتایی در مرحله نخست سه بار و در مرحله دوم سه بار کم شده، پس باید یک بار بازگردد.
حداقل یکی و هیچکدام
تعداد اعضایی که حداقل در یکی از گروهها هستند همان اندازه اجتماع است. برای یافتن هیچکدام، اندازه اجتماع را از کل فضای مورد بررسی کم کن. کل باید دقیقاً همان جامعهای باشد که گروهها درون آن تعریف شدهاند.
فقط یک گروه
برای شمارش اعضای فقط A، همه اشتراکهای A با گروههای دیگر را کم کن و اگر اشتراک سهتایی دو بار کم شده است آن را یک بار اضافه کن. رسم نمودار ون و پرکردن از ناحیه مرکزی، خطا را کم میکند.
مثال و تست کوتاه
در کلاس 40 نفره، 24 نفر ریاضی و 18 نفر فیزیک را دوست دارند و 10 نفر هر دو را دوست دارند. تعداد علاقهمند به حداقل یکی 24+18-10=32 و تعداد علاقهمند به هیچکدام 40-32=8 نفر است.
چکلیست حل تست
- اشتراک دو مجموعه را یک بار کم کن.
- در سه مجموعه، اشتراک سهتایی دوباره اضافه میشود.
- برای هیچکدام، اجتماع را از کل کم کن.