انتگرالگیری جزءبهجزء در کنکور؛ انتخاب درست u و dv و کنترل جواب
آموزش انتگرالگیری جزءبهجزء برای حاصلضرب توابع، با معیار انتخاب اجزا، مثالهای حلشده و تمرینهای خودسنجی مناسب دبیرستان و کنکور.
پاسخ کوتاه
بعضی انتگرالها بهصورت حاصلضرب دو تابع دیده میشوند؛ مانند حاصلضرب چندجملهای و نمایی یا چندجملهای و سینوسی. در این موقعیت، انتگرالگیری جزءبهجزء کمک میکند مسئله را به انتگرالی سادهتر تبدیل کنیم. نکته اصلی حفظکردن یک فرمول نیست، بلکه انتخاب هوشمندانه دو جزء است: یکی را برای مشتقگیری و دیگری را برای انتگرالگیری انتخاب میکنیم. اگر این انتخاب درست باشد، درجه چندجملهای کم میشود یا تابع دشوار به شکلی آشنا تبدیل خواهد شد.
ساخت فرمول از قاعده مشتق حاصلضرب
از رابطه مشتق حاصلضرب داریم: (uv)'=u'v+uv'. دو طرف را نسبت به x انتگرال میگیریم: uv=∫u'v dx+∫uv' dx. با جابهجایی جملهها، فرمول اصلی به دست میآید: ∫u dv=uv−∫v du. در این نماد، u تابعی است که مشتق آن سادهتر میشود و dv بخشی است که انتگرال آن را میتوان مستقیم پیدا کرد.
چگونه u و dv را انتخاب کنیم؟
برای انتخاب u، معمولاً تابعی را برمیگزینیم که با مشتقگیری سادهتر شود؛ چندجملهایها انتخابهای خوبی هستند، چون هر بار درجهشان یک واحد کاهش مییابد. برای dv، تابعی را انتخاب میکنیم که انتگرالش شناختهشده باشد؛ مانند e^x dx، sin x dx یا cos x dx. در حاصلضرب لگاریتمی و جبری نیز اغلب لگاریتم را u میگیریم، حتی اگر در ابتدا انتگرالِ تنها به نظر برسد. اگر انتخاب اول انتگرال جدیدی سختتر از مسئله اصلی ساخت، باید اجزا را بازبینی کرد.
مثال چندجملهای و نمایی
انتگرال I=∫x e^x dx را در نظر بگیر. بگذار u=x و dv=e^x dx؛ بنابراین du=dx و v=e^x. پس I=xe^x−∫e^x dx=xe^x−e^x+C=e^x(x−1)+C. برای کنترل، مشتق e^x(x−1) را حساب میکنیم: e^x(x−1)+e^x=xe^x؛ پس نتیجه درست است.
مثال چندجملهای و مثلثاتی
برای I=∫x cos x dx، انتخاب مناسب u=x و dv=cos x dx است. در نتیجه du=dx و v=sin x. بنابراین I=x sin x−∫sin x dx=x sin x+cos x+C. علامت آخر مهم است، زیرا انتگرال سینوس برابر −cos x است و منفیِ فرمول جزءبهجزء آن را به مثبت تبدیل میکند. مشتق x sin x+cos x برابر sin x+x cos x−sin x و در نهایت x cos x است.
وقتی جزءبهجزء چند بار تکرار میشود
اگر u چندجملهای درجه دو یا بالاتر باشد، ممکن است یک بار استفاده از فرمول کافی نباشد. مثلاً در ∫x²e^x dx، بار اول نتیجه x²e^x−∫2xe^x dx است. انتگرال باقیمانده دوباره جزءبهجزء میشود: ∫xe^x dx=e^x(x−1). بنابراین پاسخ برابر x²e^x−2e^x(x−1)+C است. میتوان آن را به شکل e^x(x²−2x+2)+C نوشت. هر بار مشتقگیری از چندجملهای، درجه را کم میکند و پس از چند مرحله به انتگرال پایه میرسیم.
انتخاب u برای تابع لگاریتمی
در انتگرال ∫ln x dx، عامل دوم را بهصورت 1 بنویس: ∫ln x·1 dx. حال u=ln x و dv=dx است؛ پس du=1/x dx و v=x. نتیجه میشود ∫ln x dx=x ln x−∫1 dx=x ln x−x+C. این روش نشان میدهد جزءبهجزء فقط برای حاصلضربهای آشکار نیست؛ گاهی بازنویسی ساده، ساختار مناسب را نمایان میکند. دامنه عبارت نیز باید رعایت شود؛ در حالت عمومی میتوان نوشت ∫ln|x|dx=x ln|x|−x+C.
خطاهای رایج و کنترل نهایی
در فرمول، جمله uv را با علامت مثبت و انتگرال دوم را با علامت منفی بنویس. هنگام انتگرالگیری از sin x و cos x، علامتها را جداگانه بررسی کن. ثابت انتگرال را در پایان اضافه کن، نه وسط محاسبات. مهمترین آزمون، مشتقگیری از جواب نهایی است؛ اگر مشتق به integrand اولیه برنگشت، معمولاً خطا از انتخاب v یا علامت انتگرال تابع مثلثاتی آمده است. همچنین جزءبهجزء را روی جمع جملهها توزیع کن، اما هر جمله را جداگانه و با ثابت مشترک بررسی کن.
تمرین خودسنجی با پاسخ
تمرین ۱: مقدار انتگرال ∫x sin x dx را پیدا کنید.
u=x و dv=sin x dx میگیریم؛ پس du=dx و v=−cos x. بنابراین ∫x sin x dx=−x cos x+∫cos x dx=−x cos x+sin x+C. مشتق جواب برابر sin x+x sin x نیست؟ کنترل دقیق نشان میدهد مشتق −x cos x برابر −cos x+x sin x و مشتق sin x برابر cos x است؛ جمع آنها x sin x میشود.
تمرین ۲: انتگرال ∫ln x dx را برای x>0 به دست آورید.
u=ln x و dv=dx انتخاب میشود. آنگاه du=dx/x و v=x. پس ∫ln x dx=xln x−∫1 dx=xln x−x+C.
تمرین ۳: در ∫(x+1)e^x dx، پاسخ را با یک بار جزءبهجزء به دست آورید.
u=x+1 و dv=e^x dx؛ بنابراین du=dx و v=e^x. حاصل برابر (x+1)e^x−e^x+C=xe^x+C است. با مشتقگیری، مشتق xe^x برابر (x+1)e^x میشود.
چکلیست حل تست
- ابتدا مشخص کن کدام عامل با مشتقگیری سادهتر میشود.
- برای dv تابعی را بردار که انتگرال پایه و فوری داشته باشد.
- پس از پایان، مشتق جواب را بگیر و با عبارت زیر انتگرال مقایسه کن.
- در انتگرالهای مثلثاتی، علامت v را پیش از جایگذاری دوباره بررسی کن.