ریاضی کنکوریهمه مقالههاقضیه نیمساز داخلی مثلث کنکور؛ نسبت قطعات ضلع و کاربردهای آن
آموزش قضیه نیمساز داخلی مثلث با اثبات، تشخیص نسبت قطعات ضلع، محاسبه طولهای مجهول و تمرینهای خودسنجی تشریحی.
پاسخ کوتاه
قضیه نیمساز داخلی مثلث کنکور فقط یک فرمول حفظی نیست؛ این قضیه توضیح میدهد نیمساز یک زاویه چگونه ضلع روبهرو را متناسب با دو ضلع مجاور تقسیم میکند. اگر در مثلث ABC، نیمساز زاویه A ضلع BC را در نقطه D قطع کند، رابطه اصلی چنین است: BD/DC=AB/AC. با شناخت درست این نسبت، بسیاری از مسئلههای طولی بدون ساختن معادلههای پیچیده حل میشوند.
قضیه نیمساز داخلی مثلث کنکور
در مثلث ABC، اگر AD نیمساز داخلی زاویه A باشد و D روی BC قرار گیرد، آنگاه BD/DC=AB/AC. یعنی قطعه نزدیک به B با ضلع AB و قطعه نزدیک به C با ضلع AC متناظر است. ترتیب نوشتن نسبتها باید هماهنگ باشد؛ نوشتن BD/DC در برابر AC/AB نسبت را معکوس میکند و پاسخ نادرست میدهد.
چرا رابطه درست است؟
برای درک استدلال، از D به دو رأس B و C وصل شده و ارتفاعهای دو مثلث ABD و ACD را نسبت به خط BC در نظر بگیر. این دو مثلث ارتفاع مشترک دارند، پس نسبت مساحتهایشان برابر BD/DC است. از سوی دیگر، مساحت هر مثلث با فرمول نصف حاصلضرب دو ضلع و سینوس زاویه بین آنها محاسبه میشود. چون AD نیمساز است، زاویه BAD و CAD برابرند؛ بنابراین نسبت مساحتها برابر AB/AC میشود. پس BD/DC=AB/AC.
حل طول مجهول با نسبت
اگر AB=6، AC=9 و BC=10 باشد، چون BD+DC=10 و BD/DC=6/9=2/3، میتوان نوشت BD=2k و DC=3k. از 5k=10، مقدار k=2 به دست میآید؛ بنابراین BD=4 و DC=6 است. این روش از حدسزدن جلوگیری میکند و برای هر نسبت ساده یا اعشاری قابل استفاده است.
استفاده از قضیه معکوس
اگر نقطه D روی ضلع BC باشد و BD/DC=AB/AC، میتوان نتیجه گرفت AD نیمساز زاویه A است؛ البته باید D در خود پارهخط BC قرار داشته باشد. این صورت معکوس در مسئلههایی کاربرد دارد که نسبت طولها داده شده اما ویژگی خط رسمشده پرسیده میشود. پیش از استفاده، مطمئن شو نسبتها به یک رأس مشترک مربوطاند.
نیمساز خارجی و تفاوت آن
نیمساز داخلی ضلع روبهرو را درون مثلث قطع میکند و دو قطعه همجهت روی BC میسازد. در نیمساز خارجی، امتداد ضلع مقابل تقسیم میشود و رابطه، نسبت خارجی قطعات است؛ بنابراین نباید فرمول داخلی را بدون توجه به شکل به کار برد. در سؤالهای دبیرستانی، ابتدا مشخص کن خط از داخل زاویه عبور میکند یا از زاویه خارجی.
ترکیب با محیط و طول ضلعها
گاهی بهجای طول BC، محیط مثلث یا مجموع دو قطعه داده میشود. ابتدا نسبت را به سادهترین شکل تبدیل کن و قطعات را mk و nk بنویس. سپس از مجموع قطعات یا شرط محیط، k را پیدا کن. اگر AB:AC=4:7 باشد، قطعات متناظر ضلع مقابل نیز 4k و 7k هستند، نه 4 و 7 مستقل از مقیاس.
خطاهای پرتکرار
اولین خطا جابهجایی ضلعهای متناظر است؛ قطعه BD باید کنار AB قرار گیرد. خطای دوم، استفاده از مجموع دو قطعه بدون توجه به این است که D روی ضلع یا امتداد آن قرار دارد. خطای سوم، نتیجهگیری از برابر بودن قطعات بهعنوان نیمساز در هر شرایطی است؛ برابر بودن قطعات فقط وقتی بهسادگی نتیجه میدهد که دو ضلع مجاور نیز برابر باشند.
جمعبندی و نقشه حل
رأس زاویه نیمساز را پیدا کن، دو ضلع مجاور همان رأس را بنویس و ضلع مقابل را به دو قطعه تقسیم کن. سپس نسبت قطعات را با نسبت دو ضلع مجاور برابر قرار بده: BD/DC=AB/AC. اگر مجموع قطعات معلوم است، قطعات را بهصورت مضربهای یک k بنویس و در پایان جواب را با مجموع یا شکل مسئله کنترل کن. این کنترل ساده، بسیاری از خطاهای علامت و جابهجایی را آشکار میکند.
تمرین خودسنجی با پاسخ
تمرین ۱: در مثلث ABC، نیمساز زاویه A ضلع BC را به قطعات BD و DC تقسیم کرده است. اگر AB=8، AC=12 و BC=15 باشد، BD و DC را بیابید.
پاسخ: نسبت BD/DC=8/12=2/3 است. پس BD=2k و DC=3k. از 5k=15، k=3؛ بنابراین BD=6 و DC=9.
تمرین ۲: در مثلث ABC، نقطه D روی BC است و BD=5 و DC=7. اگر AB=10 باشد و AD نیمساز زاویه A باشد، AC را پیدا کنید.
پاسخ: از BD/DC=AB/AC داریم 5/7=10/AC. ضرب متقاطع میدهد 5AC=70، پس AC=14.
تمرین ۳: آیا اگر BD=DC باشد، خط AD حتماً نیمساز زاویه A است؟
پاسخ: نه، بهتنهایی کافی نیست. از معکوس قضیه فقط وقتی میتوان نیمساز بودن را نتیجه گرفت که BD/DC با AB/AC برابر باشد. برابر بودن BD و DC زمانی این نتیجه را میدهد که AB=AC نیز برقرار باشد.
چکلیست حل تست
- نسبت هر قطعه را با ضلع مجاور همان سمت بنویس.
- پیش از حل، مجموع دو قطعه را با طول ضلع مقابل مقایسه کن.
- در نیمساز خارجی، شکل و جهت قطعات را جداگانه بررسی کن.
- پس از بهدستآوردن طولها، جمع و مثبتبودن آنها را کنترل کن.