ریاضی کنکوریهمه مقالههاقضیه وترهای متقاطع در دایره؛ یک رابطه ساده برای حل مسئلههای هندسی
آموزش قضیه وترهای متقاطع در دایره با اثبات تشابه مثلثها، نکات تشخیص قطعههای متناظر و چند تمرین خودسنجی تشریحی.
پاسخ کوتاه
وقتی دو وتر درون یک دایره همدیگر را قطع میکنند، طول چهار قطعه بهصورت مستقل رفتار نمیکند؛ حاصلضرب دو قطعه از یک وتر با حاصلضرب دو قطعه از وتر دیگر برابر است. قضیه وترهای متقاطع در دایره به کمک همین رابطه، بسیاری از مسئلههای طولی را بدون محاسبه زاویههای پیچیده حل میکند.
قضیه وترهای متقاطع در دایره
فرض کنید دو وتر AB و CD در نقطه P داخل دایره یکدیگر را قطع کنند. در این صورت رابطه زیر برقرار است: PA×PB=PC×PD. توجه کنید که در هر طرف، دو قطعهای قرار میگیرند که از نقطه تقاطع تا دو سرِ یک وتر اندازهگیری شدهاند. این رابطه فقط برای تقاطع داخل دایره به کار میرود، نه برای دو خطی که بیرون دایره همدیگر را قطع میکنند.
چرا رابطه درست است؟
برای استدلال، مثلثهای PAC و PDB را در نظر بگیرید. زاویههای PAC و BDC هر دو روبهروی کمان BC هستند و برابرند. همچنین زاویههای APC و DPB متقابل به رأساند و برابر هستند. پس دو مثلث به روش زاویه-زاویه متشابهاند. از تناسب ضلعهای متناظر داریم PA/PD=PC/PB. با ضرب طرفین، به PA×PB=PC×PD میرسیم.
تشخیص قطعههای درست
پیش از نوشتن فرمول، نقطه تقاطع را مشخص کنید. اگر دو وتر در P قطع شوند، قطعات هر وتر از P تا دو سر آن وتر هستند. برای نمونه، اگر وترهای AB و CD در P برخورد کنند، نمیتوان PA را با PC در یک طرف رابطه گذاشت؛ این دو قطعه از دو وتر متفاوتاند و باید حاصلضرب قطعههای هر وتر جداگانه ساخته شود.
حل عددی و ساخت معادله
اگر PA=4، PB=9 و PC=6 باشد، از رابطه 4×9=6×PD استفاده میکنیم؛ بنابراین PD=36÷6=6. در حالت مجهولهای جبری نیز همین روش برقرار است. مثلاً اگر PA=x، PB=x+2، PC=4 و PD=6 باشد، معادله x(x+2)=24 به دست میآید و پس از حل، مقدارهای نامعتبر را با توجه به مثبتبودن طولها کنار میگذاریم.
مقایسه با دو رابطه مشابه
در تقاطع دو وتر داخل دایره، حاصلضرب قطعهها برابر است. اگر دو خط از یک نقطه بیرونی به دایره برسند، ساختار رابطه تغییر میکند و معمولاً طول کل قاطع با قطعه بیرونی ضرب میشود. بنابراین پیش از استفاده از فرمول، محل تقاطع را بررسی کنید: داخل دایره، روی دایره یا بیرون آن. اشتباهگرفتن این سه حالت از خطاهای رایج است.
جمعبندی قضیه وترهای متقاطع
برای حل مسئله، ابتدا نقطه برخورد دو وتر را نامگذاری و چهار قطعه اطراف آن را مشخص کنید. سپس حاصلضرب دو قطعه یک وتر را برابر حاصلضرب دو قطعه وتر دیگر قرار دهید: PA×PB=PC×PD. در پایان، دامنه عددی جواب، مثبتبودن طولها و سازگاری آن با شکل را کنترل کنید. اثبات رابطه نیز بر دو زاویه برابر و تشابه دو مثلث استوار است.
تمرینهای خودسنجی
تمرینها را ابتدا بدون نگاهکردن به پاسخ حل کنید و در نوشتن قطعههای هر وتر دقت داشته باشید. شکل ذهنی درست، نیمی از راهحل است.
تمرین خودسنجی با پاسخ
دو وتر AB و CD در نقطه P داخل دایره قطع شدهاند. اگر PA=3، PB=12 و PC=6 باشد، PD را بیابید.
طبق قضیه، PA×PB=PC×PD؛ پس 3×12=6×PD و در نتیجه PD=6.
در دو وتر متقاطع، PA=x، PB=x+5، PC=4 و PD=9 است. مقدار مثبت x را پیدا کنید.
داریم x(x+5)=4×9=36، پس x²+5x−36=0. تجزیه میکنیم: (x+9)(x−4)=0. چون طول مثبت است، x=4.
دو وتر در نقطه P قطع شدهاند. اگر PA=2a، PB=3، PC=a و PD=6 باشد، a را به دست آورید.
رابطه میدهد (2a)×3=a×6؛ دو طرف برابر 6a هستند، بنابراین این دادهها برای هر مقدار مجاز a رابطه را برقرار میکنند و مقدار یکتایی برای a تعیین نمیشود. این نکته نشان میدهد هر چهار داده همیشه مجهول را بهطور یکتا مشخص نمیکنند.
چکلیست حل تست
- نقطه تقاطع را قبل از نوشتن فرمول پیدا کنید.
- در هر طرف رابطه، دو قطعه از یک وتر قرار میگیرد.
- طولها باید مثبت باشند؛ جواب جبری نامعتبر را حذف کنید.
- قضیه را با رابطه قاطعهای بیرونی یا مماس اشتباه نکنید.