ریاضی کنکوریهمه مقاله‌ها
تبدیل معادله خط به فرم شیب و عرض از مبدأ · بازبینی ۱۴۰۵/۰۶/۲۹

تبدیل معادله خط به فرم شیب و عرض از مبدأ؛ آموزش با مثال

یاد بگیرید چگونه معادله خط را به فرم y=mx+b تبدیل کنید، شیب و عرض از مبدأ را بخوانید و پاسخ خود را با جایگذاری کنترل کنید.

پاسخ کوتاه

تبدیل معادله خط به فرم شیب و عرض از مبدأ یعنی رساندن معادله به شکل y=mx+b؛ در این شکل، m شیب خط و b عرض از مبدأ است. با جداکردن y، تشخیص ضریب x و کنترل یک نقطه، بیشتر سؤال‌های این تیپ بدون رسم کامل نمودار حل می‌شوند.

فرم استاندارد و معنای اجزا

فرم اصلی خط y=mx+b است. ضریب m نشان می‌دهد با یک واحد حرکت به سمت راست، مقدار y چند واحد تغییر می‌کند؛ b نیز مقدار y در x=0 است. بنابراین نقطه برخورد خط با محور y برابر (0,b) خواهد بود. اگر m مثبت باشد خط صعودی، اگر منفی باشد نزولی و اگر صفر باشد افقی است.

تبدیل معادله‌های خطی

ابتدا جمله دارای y را تنها بگذار و سپس همه جمله‌ها را بر ضریب y تقسیم کن. برای نمونه، از معادله 2x+y=5 داریم y=5-2x؛ پس شیب برابر 2- و عرض از مبدأ برابر 5 است. در معادله 3x-2y=8، ابتدا 2y=3x-8 و سپس y=(3/2)x-4، بنابراین m=3/2 و b=-4 خواهد بود.

تبدیل معادله خط به فرم شیب و عرض از مبدأ

برای معادله 4x+2y=10، جمله 4x را به طرف دیگر می‌بریم: 2y=-4x+10. با تقسیم همه جمله‌ها بر 2، به y=-2x+5 می‌رسیم. نتیجه این است که خط با شیب -2 از نقطه (0,5) می‌گذرد. توجه کن که تقسیم فقط جمله سمت راست را تغییر نمی‌دهد؛ کل طرف معادله باید بر ضریب y تقسیم شود.

خطی که به شکل معمول داده شده است

اگر معادله به صورت Ax+By=C باشد و B صفر نباشد، با انتقال Ax به سمت راست داریم By=-Ax+C و در نتیجه y=-(A/B)x+C/B. پس شیب برابر -A/B و عرض از مبدأ برابر C/B است. این روش برای مقایسه سریع دو خط نیز مفید است؛ کافی است m و b هر دو را جداگانه بررسی کنی.

مثال محاسباتی و کنترل پاسخ

معادله 5x-3y=12 را در نظر بگیر. با انتقال 5x، داریم -3y=-5x+12. تقسیم بر -3 نتیجه می‌دهد y=(5/3)x-4. پس شیب 5/3 و عرض از مبدأ -4 است. برای کنترل، نقطه برخورد با محور y یعنی (0,-4) را در معادله اصلی قرار می‌دهیم: 5(0)-3(-4)=12؛ تساوی درست است، پس تبدیل نیز درست انجام شده است.

خطاهای رایج و جمع‌بندی

علامت منفی هنگام انتقال یا تقسیم، رایج‌ترین خطاست. همچنین در معادله x=4 نمی‌توان y را به صورت y=mx+b نوشت؛ این خط عمودی شیب تعریف‌شده‌ای ندارد. در پایان هر سؤال، ضریب x را به عنوان شیب و مقدار ثابت را به عنوان عرض از مبدأ بخوان و دست‌کم یک نقطه به‌دست‌آمده را در معادله اولیه بررسی کن. جمع‌بندی: جداکردن y، تقسیم دقیق کل طرف معادله و کنترل با جایگذاری سه گام مطمئن این تیپ سؤال‌اند.

تمرین خودسنجی با پاسخ

معادله 2x-4y=16 را به فرم y=mx+b بنویسید و شیب و عرض از مبدأ را بیابید. پاسخ کامل: با انتقال 2x داریم -4y=-2x+16. با تقسیم بر -4، y=(1/2)x-4. بنابراین شیب 1/2 و عرض از مبدأ -4 است.

آیا نقطه (6,-1) روی خط y=(1/2)x-4 قرار دارد؟ پاسخ کامل: سمت راست برابر (1/2)(6)-4=3-4=-1 است؛ چون با مؤلفه دوم نقطه برابر است، نقطه روی خط قرار دارد.

معادله 3x+6y=-12 را به فرم شیب و عرض از مبدأ تبدیل کنید. پاسخ کامل: 6y=-3x-12 و با تقسیم بر 6، y=-(1/2)x-2. پس شیب -1/2 و عرض از مبدأ -2 است.

دو خط y=2x+1 و y=2x-5 چه رابطه‌ای دارند؟ پاسخ کامل: شیب هر دو خط 2 است، اما عرض از مبدأ آن‌ها متفاوت است؛ بنابراین موازی و متمایزند و یکدیگر را قطع نمی‌کنند.

چک‌لیست حل تست