درونیابی خطی برای تخمین مقدار تابع؛ تقریب هوشمند بین دو داده
آموزش درونیابی خطی برای تقریب مقدار تابع بین دو نقطه، با استدلال هندسی، فرمول، خطاهای رایج و تمرینهای خودسنجی مناسب ریاضی دبیرستان و کنکور.
پاسخ کوتاه
درونیابی خطی برای تخمین مقدار تابع زمانی به کار میآید که مقدار تابع را در دو نقطه بدانیم و بخواهیم مقدار تقریبی آن را در نقطهای بین آنها به دست آوریم. ایده اصلی این است که در یک بازه کوتاه، تغییرات تابع را مانند تغییرات یک خط راست در نظر بگیریم؛ بنابراین به جای حدسزدن، از نسبت تغییرات استفاده میکنیم.
ایده هندسی مسئله
دو نقطه از نمودار تابع را به صورت (x₁,y₁) و (x₂,y₂) در نظر بگیر. خطی که این دو نقطه را به هم وصل میکند، تقریب خطی نمودار در بازه مورد نظر است. اگر x بین x₁ و x₂ باشد، نقطه متناظر روی این خط معمولاً تصویر مناسبی از مقدار واقعی تابع ارائه میدهد. هرچه نمودار در این بازه خمیدگی کمتری داشته باشد، تقریب بهتر خواهد بود.
فرمول درونیابی خطی برای تخمین مقدار تابع
برای یافتن مقدار تقریبی f(x) از رابطه زیر استفاده میکنیم: f(x)≈y₁+(x−x₁)(y₂−y₁)/(x₂−x₁). کسر موجود در فرمول همان شیب خطی است که دو داده را به هم وصل میکند. ابتدا فاصله افقی x−x₁ را پیدا میکنیم، سپس آن را در نرخ تغییر عمودی به ازای یک واحد تغییر افقی ضرب میکنیم و به y₁ میافزاییم. شرط مهم x₂≠x₁ است.
چرا فرمول درست است؟
معادله خطی که از نقطه اول میگذرد، y−y₁=m(x−x₁) است. شیب این خط از تقسیم تغییر عمودی بر تغییر افقی به دست میآید: m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁). با جایگذاری m در معادله خط و انتقال y₁، دقیقاً به فرمول تقریب میرسیم. اگر x=x₁ باشد، مقدار به y₁ و اگر x=x₂ باشد، مقدار به y₂ تبدیل میشود؛ پس روش در دو سر بازه دادههای اصلی را بازتولید میکند.
مثال مرحلهبهمرحله
فرض کن f(2)=5 و f(6)=13 باشد و مقدار تقریبی تابع را در x=3 بیابیم. شیب بین دو داده برابر (13−5)/(6−2)=2 است. از x=2 تا x=3 یک واحد حرکت کردهایم، پس تغییر تقریبی تابع 2 واحد است. بنابراین f(3)≈5+2=7. همین نتیجه با فرمول مستقیم نیز به دست میآید: 5+(3−2)×8/4=7.
کنترل بازه و خطاهای رایج
این روش برای نقطهای بین دو داده طراحی شده است. اگر x بیرون بازه باشد، کار ما برونیابی میشود و معمولاً خطای آن بیشتر است. در محاسبه، جابهجا کردن x₁ و x₂ اشکالی ندارد، اما باید جفتهای مختصات را منظم نگه داشت. همچنین نباید تغییر عمودی را بر فاصلهای غیر از x₂−x₁ تقسیم کرد. اگر تابع نزدیک بازه نوسان شدید یا خمیدگی زیادی داشته باشد، نتیجه فقط یک تقریب است، نه مقدار دقیق.
جمعبندی؛ انتخاب و استفاده مطمئن
درونیابی خطی مقدار مجهول را از روی دو مقدار معلوم و نرخ تغییر میان آنها تقریب میزند. مراحل کار چنین است: دو نقطه را مشخص کن، شیب را حساب کن، فاصله افقی از نقطه مبنا را بیاب و تغییر متناظر را به مقدار مبنا اضافه کن. در پایان بررسی کن که نقطه در بازه دادهها قرار داشته باشد و واحدها در صورت مسئله سازگار باشند. این نگاه، مسئله را از یک فرمول حفظی به ساختن معادله یک خط تبدیل میکند.
تمرین خودسنجی با پاسخ
تمرین ۱: اگر g(10)=24 و g(14)=36 باشد، مقدار تقریبی g(12) را با روش خطی بیاب.
پاسخ: شیب برابر (36−24)/(14−10)=3 است. از 10 تا 12 دو واحد حرکت داریم؛ بنابراین g(12)≈24+2×3=30.
تمرین ۲: دمای یک جسم در زمان 2 دقیقه، 18 درجه و در زمان 5 دقیقه، 30 درجه است. دمای تقریبی آن در زمان 3 دقیقه چقدر است؟
پاسخ: نرخ تغییر برابر (30−18)/(5−2)=4 درجه در دقیقه است. یک دقیقه پس از زمان 2، دما تقریباً 18+4=22 درجه خواهد بود.
تمرین ۳: دو نقطه (−1,7) و (3,−5) داده شدهاند. مقدار خطی متناظر با x=1 را پیدا کن.
پاسخ: شیب برابر (−5−7)/(3−(−1))=−12/4=−3 است. از x=−1 تا x=1 دو واحد حرکت میکنیم؛ پس مقدار برابر 7+2×(−3)=1 است.
چکلیست حل تست
- پیش از محاسبه، دو داده را به شکل مرتب و جفتشده بنویس.
- اگر نقطه به یکی از دو سر بازه نزدیکتر است، مقدار تقریب معمولاً به همان داده نزدیکتر میشود.
- علامت شیب را بررسی کن؛ افزایش x الزاماً به افزایش مقدار تابع منجر نمیشود.
- بینیابی و برونیابی را از هم تشخیص بده.
- نتیجه تقریبی را با نماد ≈ یا توضیح کلامی مشخص کن.