تشخیص ضابطه خطی از روی دو نقطه؛ شیب، عرض از مبدأ و کنترل پاسخ

پاسخ کوتاه

تشخیص ضابطه خطی از روی دو نقطه با پیدا کردن شیب آغاز می‌شود: اختلاف مؤلفه‌های عمودی را بر اختلاف مؤلفه‌های افقی تقسیم کنید، سپس یکی از نقطه‌ها را در رابطه خط قرار دهید تا عرض از مبدأ به دست آید. اگر دو نقطه برابرِ x داشته باشند، خط عمودی است و تابع خطی به معنای معمول تشکیل نمی‌شود.

تشخیص ضابطه خطی از روی دو نقطه

دو نقطه را به صورت A(x₁,y₁) و B(x₂,y₂) بنویسید. اگر x₁ و x₂ متفاوت باشند، از فرمول شیب استفاده کنید: m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁). سپس ضابطه را به شکل y=mx+b بنویسید و با جایگذاری یکی از نقطه‌ها، b را پیدا کنید. این روش از حدس زدن ضابطه مطمئن‌تر است.

چرا اختلاف مختصات مهم است؟

شیب نسبت تغییر y به تغییر x است. اگر هنگام محاسبه، صورت و مخرج را جابه‌جا کنید، مقدار نادرستی به دست می‌آید. ترتیب انتخاب دو نقطه مهم نیست، به شرط آنکه در هر دو اختلاف یک ترتیب را حفظ کنید: y₂-y₁ در کنار x₂-x₁، یا برعکس هر دو.

مثال محاسباتی کامل

فرض کنید دو نقطه A(2,5) و B(6,13) باشند. شیب برابر است با m=(13-5)/(6-2)=8/4=2. اکنون y=2x+b. با استفاده از نقطه A داریم 5=2×2+b، پس b=1. بنابراین ضابطه خط y=2x+1 است. کنترل نقطه دوم نیز درست است، چون 2×6+1=13.

روش مستقیم با فرم نقطه و شیب

می‌توان ابتدا از رابطه y-y₁=m(x-x₁) استفاده کرد. برای همان نقاط، y-5=2(x-2) و در نتیجه y-5=2x-4، پس y=2x+1. این فرم زمانی مفید است که بخواهید خط را مستقیماً از یک نقطه و شیب بسازید و احتمال خطای محاسبه عرض از مبدأ را کم کنید.

حالت‌های ویژه و دام‌های رایج

اگر y₁=y₂ باشد، شیب صفر است و خط افقی به شکل y=y₁ نوشته می‌شود. اگر x₁=x₂ باشد، خط به شکل x=x₁ عمودی است و برای هر x ضابطه تابعی y=f(x) نیست. همچنین هر دو نقطه نباید یکی باشند؛ از یک نقطه به تنهایی بی‌نهایت خط می‌توان گذراند.

چک‌لیست کنترل پاسخ

۱) اختلاف yها را بر اختلاف xها تقسیم کنید. ۲) علامت شیب را با جهت حرکت بررسی کنید؛ خط صعودی شیب مثبت و خط نزولی شیب منفی دارد. ۳) هر دو نقطه را در ضابطه جایگذاری کنید. ۴) اگر خط افقی یا عمودی است، از فرمول عمومی بی‌دلیل استفاده نکنید.

تمرین‌های خودسنجی

تمرین ۱: ضابطه خطی را بیابید که از نقاط (1,4) و (3,10) می‌گذرد. پاسخ: m=(10-4)/(3-1)=6/2=3. پس y=3x+b. با نقطه اول، 4=3+b و b=1؛ بنابراین y=3x+1. تمرین ۲: خطی از نقاط (-2,7) و (4,-5) می‌گذرد. شیب و ضابطه را پیدا کنید. پاسخ: m=(-5-7)/(4-(-2))=-12/6=-2. پس y=-2x+b. با جایگذاری نقطه اول: 7=4+b، بنابراین b=3 و ضابطه y=-2x+3 است. کنترل نقطه دوم: -2×4+3=-5.

جمع‌بندی؛ از دو نقطه تا ضابطه

برای ساخت ضابطه خط، ابتدا شیب را از نسبت تغییرات محاسبه کنید، سپس عرض از مبدأ را با جایگذاری یک نقطه بیابید. در پایان هر دو نقطه را کنترل کنید. توجه به خط افقی، خط عمودی، علامت اختلاف‌ها و یکسان بودن ترتیب محاسبه، بیشتر خطاهای این تیپ سؤال را برطرف می‌کند.

تمرین خودسنجی با پاسخ