دترمینان ماتریس دو در دو کنکور؛ محاسبه، کاربرد و خطاهای رایج

پاسخ کوتاه

دترمینان ماتریس دو در دو کنکور فقط یک فرمول حفظی نیست؛ عددی است که درباره وارون‌پذیری ماتریس و یکتایی جواب دستگاه اطلاعات می‌دهد. در این درس، روش محاسبه، تفسیر علامت و کاربرد آن در حل دستگاه را با استدلال و مثال بررسی می‌کنیم تا هنگام دیدن یک ماتریس، بدانید کدام ابزار واقعاً لازم است.

ماتریس دو در دو و نشانه‌گذاری

یک ماتریس دو در دو را به صورت A=[[a,b],[c,d]] می‌نویسیم. دو سطر و دو ستون دارد و برای آنکه دترمینان معنا داشته باشد، ماتریس باید مربعی باشد. ترتیب قرار گرفتن درایه‌ها مهم است؛ جابه‌جایی دو درایه می‌تواند مقدار نهایی را تغییر دهد. بهتر است پیش از محاسبه، سطرها و ستون‌ها را با دقت از روی صورت سؤال بازنویسی کنید.

دترمینان ماتریس دو در دو کنکور چگونه به دست می‌آید؟

اگر A=[[a,b],[c,d]] باشد، دترمینان آن برابر است با det(A)=ad-bc. یعنی حاصل‌ضرب قطر اصلی را از حاصل‌ضرب قطر فرعی کم می‌کنیم. برای نمونه، اگر A=[[3,2],[5,4]] باشد، det(A)=3×4-2×5=12-10=2. کم کردن را با علامت منفی کامل انجام دهید؛ اشتباه رایج این است که دو حاصل‌ضرب با هم جمع شوند.

معنای صفر یا ناصفر بودن دترمینان

اگر det(A)≠0 باشد، ماتریس وارون‌پذیر است و دستگاه خطی متناظر، در حالت دو معادله و دو مجهول، جواب یکتای دارد. اگر det(A)=0 باشد، وارون وجود ندارد و دستگاه ممکن است بی‌جواب یا دارای بی‌نهایت جواب باشد. صفر شدن دترمینان به‌تنهایی مشخص نمی‌کند کدام‌یک از این دو حالت رخ داده است؛ باید سازگاری معادله‌ها نیز بررسی شود.

وارون ماتریس با استفاده از دترمینان

برای ماتریس A=[[a,b],[c,d]]، اگر ad-bc≠0، وارون آن چنین است: A⁻¹=1/(ad-bc) [[d,-b],[-c,a]]. در این الگو، جای a و d عوض می‌شود و علامت b و c تغییر می‌کند. سپس کل ماتریس در معکوس دترمینان ضرب می‌شود. برای کنترل پاسخ، حاصل‌ضرب A در A⁻¹ باید ماتریس واحد [[1,0],[0,1]] شود.

کاربرد در حل دستگاه خطی

دستگاه ax+by=e و cx+dy=f را می‌توان به شکل AX=B نوشت. اگر det(A)≠0، آنگاه X=A⁻¹B و جواب یکتا است. برای دستگاه 2x+y=7 و x-y=1، ماتریس ضرایب [[2,1],[1,-1]] و دترمینان آن 2×(-1)-1×1=-3 است؛ پس دستگاه جواب یکتا دارد. با حل مستقیم نیز x=8/3 و y=5/3 به دست می‌آید و می‌توان جواب را در هر دو معادله جایگذاری کرد.

جمع‌بندی: یک کنترل چهارمرحله‌ای

ابتدا مربع بودن ماتریس را بررسی کنید. سپس برای [[a,b],[c,d]] مقدار ad-bc را بنویسید. اگر نتیجه صفر نبود، امکان استفاده از وارون و وجود جواب یکتا را دارید؛ اگر صفر بود، رتبه یا خود معادله‌ها را برای تشخیص حالت دستگاه بررسی کنید. در پایان، هر جواب عددی را با جایگذاری در رابطه اصلی کنترل کنید. این کنترل کوتاه، خطای علامت و جابه‌جایی درایه‌ها را آشکار می‌کند.

تمرین خودسنجی با پاسخ